Esboce o gráfico de um exemplo de função que satisfaz todas as condiçôes dadas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente desenhar o gráfico de uma função que atende a um certo requisito. O conteúdo que vamos usar aqui é de limites, especificamente o limite de uma função quando se aproxima de um ponto pela esquerda. Vamos precisar entender o que significa esse limite e como isso afeta o gráfico da função.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é . Isso quer dizer que, à medida que se aproxima de 3 vindo pela esquerda (valores menores que 3), os valores de estão chegando próximo de 2. Ou seja, o gráfico da função se aproxima do ponto quando nos movemos para a esquerda de 3.

Passo 3

Agora, para esboçar o gráfico, precisamos criar uma função que tenha esse comportamento próximo a . Uma função bem simples que podemos usar é uma função linear antes de . Por exemplo, podemos definir para todos os . Isso significa que, à medida que chegamos perto de 3 pela esquerda, a função permanece constante em 2, atendendo assim ao requisito do limite.

Passo 4

Além disso, podemos definir o valor de como quisermos, já que o limite está apenas considerando o comportamento quando se aproxima de 3, não necessariamente o valor exato em 3. Para deixar o gráfico mais interessante, vamos dizer que . Assim, haverá um ponto aberto em indicando o limite, e um ponto fechado em mostrando o valor real da função em 3.

Resposta

Um exemplo de função que satisfaz as condições dadas é:
No gráfico, a função é uma linha horizontal em para e tem um ponto fechado em .

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Sejam e conjuntos abertos. Mostre que o conjunto
é aberto.
Para cada um dos seguintes conjuntos, determine sua fronteira:
Prove que:
.
Calcule os limites abaixo.