Em cada uma das seguintes equações diferenciais, determine uma cota inferior para o raio de convergência da solução em série de potências em torno do ponto
dado.
e.
,
e.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar uma cota inferior para o raio de convergência da solução em série de potências da equação diferencial dada, centrada no ponto
. A equação que temos é:
Para resolver isso, vamos usar conceitos de análise de séries de potências e pontos singulares em equações diferenciais. Precisamos identificar onde a equação tem problemas (singularidades) para determinar até onde nossa série de potências pode ir sem quebrar.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os pontos singulares da equação diferencial. Esses pontos são onde os coeficientes das derivadas (neste caso,
) se tornam zero ou não são analíticos. Olhando para a nossa equação:
O coeficiente de
é
. Para achar os pontos singulares, vamos resolver onde esse coeficiente é zero:
Então, as singularidades estão em
e
.
Passo 3
Agora, para encontrar o raio de convergência da série de potências centrada em
, precisamos calcular a distância do ponto central até a singularidade mais próxima no plano complexo. Essas singularidades estão a uma distância de:
Isso significa que a série de potências vai convergir para valores de
cuja distância até 0 seja menor que
.
Resposta
Portanto, uma cota inferior para o raio de convergência da solução em série de potências é: