Em cada uma das seguintes equações diferenciais, determine uma cota inferior para o raio de convergência da solução em série de potências em torno do ponto x_0 dado.
e. (2 + x^2) y'' - x y' + 4 y = 0, x0 = 0,

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar uma cota inferior para o raio de convergência da solução em série de potências da equação diferencial dada, centrada no ponto . A equação que temos é:
Para resolver isso, vamos usar conceitos de análise de séries de potências e pontos singulares em equações diferenciais. Precisamos identificar onde a equação tem problemas (singularidades) para determinar até onde nossa série de potências pode ir sem quebrar.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os pontos singulares da equação diferencial. Esses pontos são onde os coeficientes das derivadas (neste caso, ) se tornam zero ou não são analíticos. Olhando para a nossa equação:
O coeficiente de é . Para achar os pontos singulares, vamos resolver onde esse coeficiente é zero:
Então, as singularidades estão em e .

Passo 3

Agora, para encontrar o raio de convergência da série de potências centrada em , precisamos calcular a distância do ponto central até a singularidade mais próxima no plano complexo. Essas singularidades estão a uma distância de:
Isso significa que a série de potências vai convergir para valores de cuja distância até 0 seja menor que .

Resposta

Portanto, uma cota inferior para o raio de convergência da solução em série de potências é:

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