Determine
para
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o limite de
quando
tende ao infinito, onde
. Isso envolve calcular o limite de cada componente da função vetor individualmente. Vamos precisar usar conceitos de limites de funções escalares, como limites de potências, trigonometria e funções radicais.
Passo 2
Vamos começar com a primeira componente:
.
Aqui,
é o mesmo que
. Quando
cresce sem limite,
fica cada vez menor, aproximando-se de zero. Isso é porque o denominador está crescendo muito mais rápido que o numerador.
Então,
Passo 3
Agora, vamos para a segunda componente:
.
A função cosseno oscila entre -1 e 1 para todos os valores de
. Isso significa que, conforme
cresce,
não se aproxima de nenhum valor específico; ela continua a oscilar indefinidamente. Portanto, o limite não existe.
Passo 4
Por último, vamos analisar a terceira componente:
.
Para grandes valores de
, o termo
domina sobre o 1 dentro da raiz. Então, podemos simplificar:
Portanto, à medida que
tende ao infinito,
também tende ao infinito.
Resposta
O limite de
quando
tende ao infinito é:
Isso significa que a primeira componente se aproxima de 0, a segunda não tem limite definido, e a terceira cresce sem limite.