Determine lim t infty r(t) para r(t)=(t^-3, cos (t), raizt^2+1).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o limite de quando tende ao infinito, onde . Isso envolve calcular o limite de cada componente da função vetor individualmente. Vamos precisar usar conceitos de limites de funções escalares, como limites de potências, trigonometria e funções radicais.

Passo 2

Vamos começar com a primeira componente: limt to infty t^-3 .
limt to infty t^-3 = 0
Aqui, é o mesmo que . Quando cresce sem limite, fica cada vez menor, aproximando-se de zero. Isso é porque o denominador está crescendo muito mais rápido que o numerador.
Então,

Passo 3

Agora, vamos para a segunda componente: limt to infty cos(t) .
A função cosseno oscila entre -1 e 1 para todos os valores de . Isso significa que, conforme cresce, não se aproxima de nenhum valor específico; ela continua a oscilar indefinidamente. Portanto, o limite não existe.

Passo 4

Por último, vamos analisar a terceira componente: limt to infty raizt^2 + 1 .
raizt^2 + 1 approx raizt^2 = t
Para grandes valores de , o termo domina sobre o 1 dentro da raiz. Então, podemos simplificar:
Portanto, à medida que tende ao infinito, também tende ao infinito.

Resposta

O limite de limt to infty r(t) = (0, não existe, infty) quando tende ao infinito é:
ã
Isso significa que a primeira componente se aproxima de 0, a segunda não tem limite definido, e a terceira cresce sem limite.

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