Calcule lim t 0 r(t) onde r(t)=(t sin (t), e^t^2, ln (t+1)).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão pede para calcular o limite de r(t) quando t se aproxima de 0. A função vetorial é r(t) = (t sin(t), e^t^2, ln(t+1)). Vamos usar conceitos de cálculo sobre limites de funções componentes para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o limite de uma função vetorial é o vetor dos limites das suas componentes individuais. Ou seja,
limt to 0 r(t) = ( limt to 0 t sin(t), limt to 0 e^t^2, limt to 0 ln(t+1) )

Passo 3

Vamos calcular cada um desses limites separadamente.
Primeira componente: limt to 0 t sin(t)
Sabemos que sin(t) é uma função contínua e que sin(0) = 0. Além disso, quando multiplicamos por t, que também tende a 0, usamos a propriedade do limite de um produto:
limt to 0 t sin(t) = 0 times sin(0) = 0 times 0 = 0

Passo 4

Segunda componente: limt to 0 e^t^2
A função exponencial e^x é contínua em todo o seu domínio. Então, podemos simplesmente substituir t por 0:
limt to 0 e^t^2 = e^0^2 = e^0 = 1

Passo 5

Terceira componente: limt to 0 ln(t+1)
A função logaritmo natural ln(x) é contínua para x > 0. Substituindo t por 0:
limt to 0 ln(t+1) = ln(0+1) = ln(1) = 0

Resposta

Portanto, o limite de r(t) quando t se aproxima de 0 é:
limt to 0 r(t) = (0, 1, 0)

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