Calcule
onde
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão pede para calcular o limite de
quando
se aproxima de 0. A função vetorial é
. Vamos usar conceitos de cálculo sobre limites de funções componentes para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o limite de uma função vetorial é o vetor dos limites das suas componentes individuais. Ou seja,
Passo 3
Vamos calcular cada um desses limites separadamente.
Primeira componente:
Sabemos que
é uma função contínua e que
. Além disso, quando multiplicamos por
, que também tende a 0, usamos a propriedade do limite de um produto:
Passo 4
Segunda componente:
A função exponencial
é contínua em todo o seu domínio. Então, podemos simplesmente substituir
por 0:
Passo 5
Terceira componente:
A função logaritmo natural
é contínua para
. Substituindo
por 0:
Resposta
Portanto, o limite de
quando
se aproxima de 0 é: