Em cada uma das seguintes equações diferenciais, determine uma cota inferior para o raio de convergência da solução em série de potências em torno do ponto x_0 dado.
c. y'' + x^2 y = 0, x0 = 0,

Passo 1

Vamos lá! A gente tem uma equação diferencial e precisa encontrar uma cota inferior para o raio de convergência da solução em série de potências em torno do ponto . Isso quer dizer que vamos descobrir até onde a série que resolve essa equação funciona sem problemas, usando conceitos de séries de potências e convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos pensar em como resolver essa equação diferencial usando uma série de potências. A ideia é assumir que a solução pode ser escrita como uma série infinita:
Onde são os coeficientes que a gente precisa encontrar.

Passo 3

Agora, precisamos calcular as derivadas de para substituir na equação diferencial. A primeira e a segunda derivadas ficam assim:

Passo 4

Substituímos e na equação diferencial original:
Vamos ajustar os índices para ter todas as somas começando em :

Passo 5

Para que essa equação seja verdadeira para todo , os coeficientes de cada potência de devem ser iguais a zero. Então, temos a relação de recorrência:
Isso nos ajuda a relacionar os coeficientes , mas o mais importante para o raio de convergência é entender onde a série pode ter problemas para convergir.

Passo 6

O raio de convergência de uma série de potências está relacionado aos pontos onde as funções envolvidas (nesse caso, os coeficientes da equação diferencial) têm singularidades. Olhando para a equação , vemos que os coeficientes são polinômios em , que são funções inteiras (sem singularidades no plano complexo).
Isso significa que não há pontos próximos a que possam causar problemas na convergência da série. Portanto, a série de potências pode convergir para qualquer valor de , ou seja, seu raio de convergência é infinito.

Resposta

Uma cota inferior para o raio de convergência é infinito. Portanto, o raio de convergência é .

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