Em cada uma das seguintes equações diferenciais, determine uma cota inferior para o raio de convergência da solução em série de potências em torno do ponto
dado.
c.
,
c.
Passo 1
Vamos lá! A gente tem uma equação diferencial
e precisa encontrar uma cota inferior para o raio de convergência da solução em série de potências em torno do ponto
. Isso quer dizer que vamos descobrir até onde a série que resolve essa equação funciona sem problemas, usando conceitos de séries de potências e convergência.
Passo 2
Primeiro, vamos pensar em como resolver essa equação diferencial usando uma série de potências. A ideia é assumir que a solução
pode ser escrita como uma série infinita:
Onde
são os coeficientes que a gente precisa encontrar.
Passo 3
Agora, precisamos calcular as derivadas de
para substituir na equação diferencial. A primeira e a segunda derivadas ficam assim:
Passo 4
Substituímos
e
na equação diferencial original:
Vamos ajustar os índices para ter todas as somas começando em
:
Passo 5
Para que essa equação seja verdadeira para todo
, os coeficientes de cada potência de
devem ser iguais a zero. Então, temos a relação de recorrência:
Isso nos ajuda a relacionar os coeficientes
, mas o mais importante para o raio de convergência é entender onde a série pode ter problemas para convergir.
Passo 6
O raio de convergência de uma série de potências está relacionado aos pontos onde as funções envolvidas (nesse caso, os coeficientes da equação diferencial) têm singularidades. Olhando para a equação
, vemos que os coeficientes são polinômios em
, que são funções inteiras (sem singularidades no plano complexo).
Isso significa que não há pontos próximos a
que possam causar problemas na convergência da série. Portanto, a série de potências pode convergir para qualquer valor de
, ou seja, seu raio de convergência é infinito.
Resposta
Uma cota inferior para o raio de convergência é infinito. Portanto, o raio de convergência é
.