Para cada uma das seguintes equações diferenciais, podemos determinar uma solução em série de potências em torno de
? Além disso, se for o caso, qual o valor que você espera que tenha o raio de convergência de cada solução?
a.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a seguinte equação diferencial:
O que a questão está pedindo é saber se conseguimos encontrar uma solução para essa equação usando uma série de potências centrada em
. Além disso, se der certo, queremos saber qual seria o raio de convergência dessa série. Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de séries de potências e entender um pouco sobre equações diferenciais lineares com coeficientes variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma série de potências em torno de
tem a forma:
Para encontrar
, derivamos a série duas vezes:
Agora, vamos substituir
e
na equação diferencial:
Passo 3
Para simplificar, vamos expandir
em série de potências também:
Agora, multiplicamos essa série pela série de
:
Agora, igualando os coeficientes das potências de
a zero, obtemos uma relação de recorrência para os coeficientes
.
Passo 4
Resumindo, conseguimos expressar a solução
como uma série de potências onde cada coeficiente
depende dos anteriores. Isso mostra que é possível determinar uma solução em série de potências para a equação diferencial dada.
Passo 5
Quanto ao raio de convergência, como
é uma função analítica em todo o conjunto dos números reais (ou complexos), a série de potências resultante também terá um raio de convergência infinito. Ou seja, a solução válida por toda parte.
Resposta
Sim, podemos determinar uma solução em série de potências em torno de
para a equação diferencial
. O raio de convergência dessa série é infinito.