Para cada uma das seguintes equações diferenciais, podemos determinar uma solução em série de potências em torno de x0 = 0 ? Além disso, se for o caso, qual o valor que você espera que tenha o raio de convergência de cada solução?
a. y'' + sen(x) y = 0

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a seguinte equação diferencial:
O que a questão está pedindo é saber se conseguimos encontrar uma solução para essa equação usando uma série de potências centrada em . Além disso, se der certo, queremos saber qual seria o raio de convergência dessa série. Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de séries de potências e entender um pouco sobre equações diferenciais lineares com coeficientes variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma série de potências em torno de tem a forma:
Para encontrar , derivamos a série duas vezes:
Agora, vamos substituir e na equação diferencial:

Passo 3

Para simplificar, vamos expandir em série de potências também:
Agora, multiplicamos essa série pela série de :
Agora, igualando os coeficientes das potências de a zero, obtemos uma relação de recorrência para os coeficientes .

Passo 4

Resumindo, conseguimos expressar a solução como uma série de potências onde cada coeficiente depende dos anteriores. Isso mostra que é possível determinar uma solução em série de potências para a equação diferencial dada.

Passo 5

Quanto ao raio de convergência, como é uma função analítica em todo o conjunto dos números reais (ou complexos), a série de potências resultante também terá um raio de convergência infinito. Ou seja, a solução válida por toda parte.

Resposta

Sim, podemos determinar uma solução em série de potências em torno de para a equação diferencial . O raio de convergência dessa série é infinito.

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