Em cada uma dos seguintes problemas de valor inicial, verifique que o ponto
onde são fornecidos os dados inicias é um ponto ordinário da EDO. Além disso, se
é a solução do problema de valor inicial, determine
e
.
d.
d.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. A gente tem uma equação diferencial ordinária (EDO) de segunda ordem:
E os valores iniciais são
e
. A tarefa é verificar se o ponto
é um ponto ordinário da EDO e, além disso, encontrar os coeficientes
e
de uma solução representada por uma série de potências:
Vamos precisar entender o que é ponto ordinário e como resolver a EDO usando séries de potências.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se
é um ponto ordinário da EDO. Uma EDO da forma geral
tem
como ponto ordinário se as funções
e
são analíticas (ou seja, possuem séries de potências que convergem) em torno de
.
No nosso caso:
Tanto
quanto
são funções analíticas em todos os números reais, incluindo
. Portanto,
é de fato um ponto ordinário da equação.
Passo 3
Agora, vamos assumir que a solução
pode ser representada por uma série de potências centrada em
:
Precisamos encontrar os coeficientes
e
.
Primeiro, vamos calcular as derivadas necessárias:
Substituindo
,
e
na EDO:
Vamos simplificar cada termo:
- Primeiro termo:
(Por mudança de índice
)
- Segundo termo:
(Por mudança de índice
)
- Terceiro termo:
Multiplicando pela série de
:
Agora, juntando tudo:
Onde
são os coeficientes resultantes da multiplicação das séries de
e
.
Para que a equação seja satisfeita para todo
, os coeficientes de cada
devem ser iguais a zero:
Isso nos dá uma relação de recorrência para determinar os coeficientes
.
Passo 4
Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar os primeiros coeficientes.
As condições são:
Já que
, isso nos dá diretamente:
E da derivada:
Então:
Agora, vamos determinar os próximos coeficientes usando a relação de recorrência.
Passo 5
Vamos determinar
e
usando a relação de recorrência que obtivemos:
Para
:
Mas
não existe e
vem da multiplicação das séries, que para
só há o termo
,
:
Então:
Para
:
Calculando
:
Então:
Para
:
Calculando
:
Substituindo
:
Então:
Resposta
Os coeficientes determinados são: