Em cada uma dos seguintes problemas de valor inicial, verifique que o ponto x0 onde são fornecidos os dados inicias é um ponto ordinário da EDO. Além disso, se
y=phi(x)=sumn=0^infty an(x-x0)^n
é a solução do problema de valor inicial, determine a0, a1, a2, a3 e a4.
d. ry^prime prime+x^2 y^prime+(sin x) y=0, y(0)=a0, y^prime(0)=a1

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. A gente tem uma equação diferencial ordinária (EDO) de segunda ordem:
y'' + x^2 y' + (sin x) y = 0
E os valores iniciais são y(0) = a0 e y'(0) = a1. A tarefa é verificar se o ponto x0 = 0 é um ponto ordinário da EDO e, além disso, encontrar os coeficientes a0, a1, a2, a3 e a4 de uma solução representada por uma série de potências:
y = phi(x) = sumn=0^infty an (x - x0)^n
Vamos precisar entender o que é ponto ordinário e como resolver a EDO usando séries de potências.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se x0 = 0 é um ponto ordinário da EDO. Uma EDO da forma geral
y'' + P(x)y' + Q(x)y = 0
tem x0 como ponto ordinário se as funções P(x) e Q(x) são analíticas (ou seja, possuem séries de potências que convergem) em torno de x0.
No nosso caso:
  • P(x) = x^2
  • Q(x) = sin x
Tanto x^2 quanto sin x são funções analíticas em todos os números reais, incluindo x0 = 0. Portanto, x0 = 0 é de fato um ponto ordinário da equação.

Passo 3

Agora, vamos assumir que a solução y(x) pode ser representada por uma série de potências centrada em x0 = 0:
y(x) = sumn=0^infty an x^n
Precisamos encontrar os coeficientes a0, a1, a2, a3 e a4.
Primeiro, vamos calcular as derivadas necessárias:
y'(x) = sumn=1^infty an n x^n-1
y''(x) = sumn=2^infty an n (n-1) x^n-2
Substituindo y, y' e y'' na EDO:
sumn=2^infty an n (n-1) x^n-2 + x^2 sumn=1^infty an n x^n-1 + sin x sumn=0^infty an x^n = 0
Vamos simplificar cada termo:
  1. Primeiro termo:
sumn=2^infty an n (n-1) x^n-2 = sumk=0^infty ak+2 (k+2)(k+1) x^k
(Por mudança de índice k = n - 2)
  1. Segundo termo:
x^2 sumn=1^infty an n x^n-1 = sumn=1^infty an n x^n+1 = sumk=3^infty ak-1 (k-1) x^k
(Por mudança de índice k = n + 1)
  1. Terceiro termo:
sin x = summ=0^infty (-1)^m x^2m+1(2m+1)!
Multiplicando pela série de y:
sin x cdot y(x) = ( summ=0^infty (-1)^m x^2m+1(2m+1)! ) ( sumn=0^infty an x^n )
Agora, juntando tudo:
sumk=0^infty ak+2 (k+2)(k+1) x^k + sumk=3^infty ak-1 (k-1) x^k + sumk=0^infty ck x^k = 0
Onde ck são os coeficientes resultantes da multiplicação das séries de sin x e y(x).
Para que a equação seja satisfeita para todo x, os coeficientes de cada x^k devem ser iguais a zero:
ak+2 (k+2)(k+1) + ak-1 (k-1) + ck = 0
Isso nos dá uma relação de recorrência para determinar os coeficientes an.

Passo 4

Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar os primeiros coeficientes.
As condições são:
y(0) = a0
y'(0) = a1
Já que y(0) = a0, isso nos dá diretamente:
a0 = y(0)
E da derivada:
y'(0) = a1
Então:
a1 = y'(0)
Agora, vamos determinar os próximos coeficientes usando a relação de recorrência.

Passo 5

Vamos determinar a2, a3 e a4 usando a relação de recorrência que obtivemos:
ak+2 (k+2)(k+1) + ak-1 (k-1) + ck = 0
Para k = 0:
a2 cdot 2 cdot 1 + a-1 cdot (-1) + c0 = 0
Mas a-1 não existe e c0 vem da multiplicação das séries, que para k=0 só há o termo m=0, n=0:
c0 = (-1)^0 a01! = a0
Então:
2 a2 + 0 + a0 = 0 implies a2 = -a02
Para k = 1:
a3 cdot 3 cdot 2 + a0 cdot 0 + c1 = 0
Calculando c1:
c1 = (-1)^0 a11! = a1
Então:
6 a3 + a1 = 0 implies a3 = -a16
Para k = 2:
a4 cdot 4 cdot 3 + a1 cdot 1 + c2 = 0
Calculando c2:
c2 = (-1)^0 a21! + (-1)^1 a03! = a2 - a06
Substituindo a2 = -a02:
c2 = -a02 - a06 = -2a03
Então:
12 a4 + a1 - 2a03 = 0 implies a4 = 2a036 - a112 = a018 - a112

Resposta

Os coeficientes determinados são:
a0 = y(0)
a1 = y'(0)
a2 = -a02
a3 = -a16
a4 = a018 - a112

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