Em cada uma dos seguintes problemas de valor inicial, verifique que o ponto x0 onde são fornecidos os dados inicias é um ponto ordinário da EDO. Além disso, se
y=phi(x)=sumn=0^infty an(x-x0)^n
é a solução do problema de valor inicial, determine a0, a1, a2, a3 e a4.
b. y^prime prime+(sin x) y^prime+(cos x) y & =0, y(0)=0, y^prime(0) & =1,

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que o exercício pede. Temos uma equação diferencial ordinária (EDO) de segunda ordem:
y'' + (sin x) y' + (cos x) y = 0
com as condições iniciais y(0) = 0 e y'(0) = 1. Nosso objetivo é verificar se o ponto x0 = 0 é um ponto ordinário dessa EDO. Além disso, vamos assumir que a solução pode ser escrita como uma série de potências centrada em x0 = 0, ou seja:
y = phi(x) = sumn=0^infty an x^n
E precisamos encontrar os coeficientes a0, a1, a2, a3 e a4. Para isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre séries de potências e a teoria de pontos ordinários em EDOs.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se x0 = 0 é um ponto ordinário da EDO. Em uma EDO de segunda ordem na forma padrão:
y'' + P(x) y' + Q(x) y = 0
o ponto x0 é ordinário se as funções P(x) e Q(x) são analíticas (ou seja, podem ser expressas como séries de potências) em x0. No nosso caso:
P(x) = sin x e Q(x) = cos x
Sabemos que sin x e cos x podem ser expandidas em séries de potências em torno de x = 0. Portanto, x0 = 0 é um ponto ordinário da EDO.

Passo 3

Agora, assumimos que a solução pode ser escrita como uma série de potências centrada em 0:
y = sumn=0^infty an x^n
Vamos calcular suas derivadas para substituir na EDO:
y' = sumn=1^infty n an x^n-1
y'' = sumn=2^infty n (n-1) an x^n-2

Passo 4

Substituímos y, y' e y'' na EDO:
sumn=2^infty n (n-1) an x^n-2 + sin x sumn=1^infty n an x^n-1 + cos x sumn=0^infty an x^n = 0
Sabemos que:
sin x = sumk=0^infty (-1)^k(2k+1)! x^2k+1
cos x = sumk=0^infty (-1)^k(2k)! x^2k
Multiplicamos as séries e alinhamos os termos de mesma potência para encontrar uma relação de recorrência para os coeficientes an.

Passo 5

Após realizar os cálculos e igualar os coeficientes de cada potência de x a zero, obtemos as seguintes relações para os coeficientes an:
  • a0 = y(0) = 0
  • a1 = y'(0) = 1
  • a2 = 12 (-sin 0 a1 - cos 0 a0) = 0
  • a3 = 16 (-sin 0 a2 - cos 0 a1) = -16
  • a4 = 112 (-sin 0 a3 - cos 0 a2) = 0

Resposta

Os coeficientes encontrados são:
a0 = 0, a1 = 1, a2 = 0, a3 = -16, a4 = 0

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