Em cada uma dos seguintes problemas de valor inicial, verifique que o ponto
onde são fornecidos os dados inicias é um ponto ordinário da EDO. Além disso, se
é a solução do problema de valor inicial, determine
e
.
b.
b.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que o exercício pede. Temos uma equação diferencial ordinária (EDO) de segunda ordem:
com as condições iniciais
e
. Nosso objetivo é verificar se o ponto
é um ponto ordinário dessa EDO. Além disso, vamos assumir que a solução pode ser escrita como uma série de potências centrada em
, ou seja:
E precisamos encontrar os coeficientes
e
. Para isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre séries de potências e a teoria de pontos ordinários em EDOs.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se
é um ponto ordinário da EDO. Em uma EDO de segunda ordem na forma padrão:
o ponto
é ordinário se as funções
e
são analíticas (ou seja, podem ser expressas como séries de potências) em
. No nosso caso:
Sabemos que
e
podem ser expandidas em séries de potências em torno de
. Portanto,
é um ponto ordinário da EDO.
Passo 3
Agora, assumimos que a solução pode ser escrita como uma série de potências centrada em
:
Vamos calcular suas derivadas para substituir na EDO:
Passo 4
Substituímos
,
e
na EDO:
Sabemos que:
Multiplicamos as séries e alinhamos os termos de mesma potência para encontrar uma relação de recorrência para os coeficientes
.
Passo 5
Após realizar os cálculos e igualar os coeficientes de cada potência de
a zero, obtemos as seguintes relações para os coeficientes
:
Resposta
Os coeficientes encontrados são: