Em cada uma das seguintes equações diferenciais, determine uma cota inferior para o raio de convergência da solução em série de potências em torno do ponto x_0 dado.
a. y'' - x y' - y = 0, x0 = 0,

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que temos aqui é uma equação diferencial de segunda ordem:
Queremos encontrar uma cota inferior para o raio de convergência da solução em série de potências centrada em . Isso está relacionado ao estudo de séries de potências e equações diferenciais ordinárias.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa o raio de convergência. Quando resolvemos uma equação diferencial usando séries de potências, a solução é representada como uma soma infinita. O raio de convergência indica até onde essa soma é válida ou “funciona”.

Passo 3

Para encontrar uma cota inferior para esse raio, precisamos identificar possíveis pontos singulares da equação diferencial. Pontos singulares são valores de onde os coeficientes da equação não são analíticos (ou seja, não podem ser expressos como uma série de potências em torno de ).

Passo 4

Olhemos para os coeficientes da nossa equação:
  • O termo de tem coeficiente 1 (que é analítico em todo lugar).
  • O termo de tem coeficiente (também analítico em todo lugar).
  • O termo de tem coeficiente (analítico em todo lugar).
Como todos os coeficientes são polinômios, eles são analíticos para todos os valores de . Isso significa que não há pontos singulares finitos.

Passo 5

Além disso, não há singularidade no infinito para essa equação. Portanto, a série de potências que representa a solução pode convergir em todo o domínio real.

Resposta

A cota inferior para o raio de convergência da solução em série de potências em torno de é infinito.

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