Em cada uma dos seguintes problemas de valor inicial, verifique que o ponto
onde são fornecidos os dados inicias é um ponto ordinário da EDO. Além disso, se
é a solução do problema de valor inicial, determine
e
.
c.
c.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente resolver um problema de valor inicial para uma equação diferencial ordinária (EDO) do segundo grau. A gente precisa primeiro verificar se o ponto onde os dados iniciais são dados, que nesse caso é
, é um ponto ordinário da EDO. Depois, se a solução for uma série de potências como
, a gente precisa encontrar os primeiros coeficientes
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos conferir se
é um ponto ordinário da EDO. Uma EDO está em forma padrão se os coeficientes das derivadas são analíticos em
. A EDO dada é:
Dividindo toda a equação por
para deixar na forma:
Agora, verificamos se os coeficientes
e
são analíticos em
. Como
é diferente de zero e
é finito, os coeficientes são bem comportados em
. Portanto,
é um ponto ordinário.
Passo 3
Agora, vamos supor que a solução
pode ser escrita como uma série de potências centrada em
:
Nosso objetivo é encontrar os coeficientes
a
. Vamos começar calculando as derivadas de
:
Passo 4
Substituindo
,
e
na EDO, temos:
Para simplificar, vamos fazer uma mudança de variável: seja
, então
.
Passo 5
Com
, a EDO fica em termos de
:
Agora, expanda
e
em séries de potências:
Passo 6
Multiplicando essas expansões pelas séries de
,
e
, e igualando os coeficientes de cada potência de
a zero, podemos encontrar uma relação de recorrência para os coeficientes
.
Para simplificar e encontrar
a
, podemos considerar os primeiros termos da série. Sabemos que:
Passo 7
Agora, vamos calcular
. Usando a EDO e os valores iniciais:
Substituindo
na relação de recorrência, obtemos:
Passo 8
Para
:
Considerando
:
Passo 9
Para
:
Considerando
:
Resposta
Os coeficientes encontrados são: