Em cada uma dos seguintes problemas de valor inicial, verifique que o ponto x0 onde são fornecidos os dados inicias é um ponto ordinário da EDO. Além disso, se
y=phi(x)=sumn=0^infty an(x-x0)^n
é a solução do problema de valor inicial, determine a0, a1, a2, a3 e a4.
c. rx^2 y^prime prime+(1+x) y^prime+(3 ln x) y=0, y(1)=2, y^prime(1)=0,

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente resolver um problema de valor inicial para uma equação diferencial ordinária (EDO) do segundo grau. A gente precisa primeiro verificar se o ponto onde os dados iniciais são dados, que nesse caso é , é um ponto ordinário da EDO. Depois, se a solução for uma série de potências como , a gente precisa encontrar os primeiros coeficientes e .

Passo 2

Primeiro, vamos conferir se x^2 y'' + (1 + x) y' + (3 ln x) y = 0 é um ponto ordinário da EDO. Uma EDO está em forma padrão se os coeficientes das derivadas são analíticos em y'' + ( 1 + xx^2 ) y' + ( 3 ln xx^2 ) y = 0 . A EDO dada é:
Dividindo toda a equação por para deixar na forma:
Agora, verificamos se os coeficientes e são analíticos em . Como é diferente de zero e é finito, os coeficientes são bem comportados em . Portanto, é um ponto ordinário.

Passo 3

Agora, vamos supor que a solução y = sumn=0^infty an (x - 1)^n pode ser escrita como uma série de potências centrada em y' = sumn=1^infty n an (x - 1)^n-1 :
y'' = sumn=2^infty n (n - 1) an (x - 1)^n-2
Nosso objetivo é encontrar os coeficientes a . Vamos começar calculando as derivadas de :

Passo 4

Substituindo x^2 sumn=2^infty n (n - 1) an (x - 1)^n-2 + (1 + x) sumn=1^infty n an (x - 1)^n-1 + 3 ln x sumn=0^infty an (x - 1)^n = 0 , e na EDO, temos:
Para simplificar, vamos fazer uma mudança de variável: seja , então .

Passo 5

Com (t + 1)^2 y'' + (2 + t) y' + 3 ln(t + 1) y = 0 , a EDO fica em termos de (t + 1)^2 = 1 + 2t + t^2 :
ln(t + 1) = sumk=1^infty (-1)^k+1 t^kk
Agora, expanda e em séries de potências:

Passo 6

Multiplicando essas expansões pelas séries de y(1) = a0 = 2 , y'(1) = a1 = 0 e , e igualando os coeficientes de cada potência de a zero, podemos encontrar uma relação de recorrência para os coeficientes .
Para simplificar e encontrar a , podemos considerar os primeiros termos da série. Sabemos que:

Passo 7

Agora, vamos calcular a2 = - [ (1 + 1) a1 + 3 ln(1) a0 ] (1)^2 = - [ 2 cdot 0 + 0 cdot 2 ] 1 = 0 . Usando a EDO e os valores iniciais:
Substituindo na relação de recorrência, obtemos:

Passo 8

Para a3 = - [ (2) a2 + 3 ln(1) a1 ] 1 = - [ 2 cdot 0 + 0 cdot 0 ] 1 = 0 :
Considerando :

Passo 9

Para a4 = - [ (3) a3 + 3 ln(1) a2 ] 1 = - [ 3 cdot 0 + 0 cdot 0 ] 1 = 0 :
Considerando :

Resposta

Os coeficientes encontrados são:
a0 = 2, a1 = 0, a2 = 0, a3 = 0, a4 = 0

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