Em cada uma das seguintes equações diferenciais, determine uma cota inferior para o raio de convergência da solução em série de potências em torno do ponto
dado.
d.
,
d.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta pede para determinar uma cota inferior para o raio de convergência da solução em série de potências da equação diferencial
em torno de
. Isso envolve conceitos de equações diferenciais ordinárias (EDOs) e séries de potências. Vamos precisar entender o que afeta a convergência da série e como identificar possíveis pontos problemáticos na equação.
Passo 2
Primeiro, precisamos identificar pontos singulares da equação diferencial. Em uma EDO linear de segunda ordem na forma
, os pontos onde
são chamados de pontos singulares. Esses pontos podem afetar a convergência da série de potências.
Passo 3
No nosso caso, a equação é
. Aqui,
,
(porque não há termo com
), e
. Então, para encontrar os pontos singulares, resolvemos
:
Passo 4
O ponto singular encontrado é
. Agora, para determinar o raio de convergência da série de potências em torno de
, usamos a regra de que o raio é o menor valor da distância entre
e os pontos singulares da equação. Isso garante que a série converge dentro desse raio, evitando os pontos onde a equação se comporta mal.
Passo 5
Calculamos a distância entre
e o ponto singular
:
Resposta
O raio de convergência da solução em série de potências em torno de
é pelo menos 1.