Em cada uma das seguintes equações diferenciais, determine uma cota inferior para o raio de convergência da solução em série de potências em torno do ponto x_0 dado.
d. (1 - x) y'' + y = 0, x0 = 0,

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta pede para determinar uma cota inferior para o raio de convergência da solução em série de potências da equação diferencial em torno de . Isso envolve conceitos de equações diferenciais ordinárias (EDOs) e séries de potências. Vamos precisar entender o que afeta a convergência da série e como identificar possíveis pontos problemáticos na equação.

Passo 2

Primeiro, precisamos identificar pontos singulares da equação diferencial. Em uma EDO linear de segunda ordem na forma , os pontos onde são chamados de pontos singulares. Esses pontos podem afetar a convergência da série de potências.

Passo 3

No nosso caso, a equação é . Aqui, , (porque não há termo com ), e . Então, para encontrar os pontos singulares, resolvemos :

Passo 4

O ponto singular encontrado é . Agora, para determinar o raio de convergência da série de potências em torno de , usamos a regra de que o raio é o menor valor da distância entre e os pontos singulares da equação. Isso garante que a série converge dentro desse raio, evitando os pontos onde a equação se comporta mal.

Passo 5

Calculamos a distância entre e o ponto singular :
ê

Resposta

O raio de convergência da solução em série de potências em torno de é pelo menos 1.

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