Em cada uma das seguintes equações diferenciais, determine uma cota inferior para o raio de convergência da solução em série de potências em torno do ponto x_0 dado.
g. x y'' + y' + x y = 0, x0 = 1,

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial aqui:
E a gente precisa descobrir uma cota mínima para o raio de convergência da solução em série de potências em torno de . Basicamente, isso significa que queremos saber até onde a nossa série vai dar conta de resolver a equação sem dar problema.

Passo 2

Primeiro, vamos transformar a equação para um formato mais familiar. A gente divide tudo por (mas lembrando que não pode ser zero):
Agora, identificamos os coeficientes da equação:

Passo 3

O próximo passo é encontrar os pontos onde esses coeficientes não são legais, ou seja, onde eles têm singularidades (pontos onde a função não está bem definida). Olhando para e :
  • tem uma singularidade em
  • é sempre legal, não tem singularidades

Passo 4

Agora, a gente quer saber qual é a distância do ponto até a singularidade mais próxima. Nossa única singularidade é em , então a distância é:

Passo 5

Essa distância nos dá a cota inferior para o raio de convergência da série de potências. Ou seja, a série vai pelo menos até essa distância antes de poder ter problemas.

Resposta

Uma cota inferior para o raio de convergência é .

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