Em cada uma das seguintes equações diferenciais, determine uma cota inferior para o raio de convergência da solução em série de potências em torno do ponto
dado.
g.
,
g.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial aqui:
E a gente precisa descobrir uma cota mínima para o raio de convergência da solução em série de potências em torno de
. Basicamente, isso significa que queremos saber até onde a nossa série vai dar conta de resolver a equação sem dar problema.
Passo 2
Primeiro, vamos transformar a equação para um formato mais familiar. A gente divide tudo por
(mas lembrando que
não pode ser zero):
Agora, identificamos os coeficientes da equação:
Passo 3
O próximo passo é encontrar os pontos onde esses coeficientes não são legais, ou seja, onde eles têm singularidades (pontos onde a função não está bem definida). Olhando para
e
:
-
tem uma singularidade em -
é sempre legal, não tem singularidades
Passo 4
Agora, a gente quer saber qual é a distância do ponto
até a singularidade mais próxima. Nossa única singularidade é em
, então a distância é:
Passo 5
Essa distância nos dá a cota inferior para o raio de convergência da série de potências. Ou seja, a série vai pelo menos até essa distância antes de poder ter problemas.
Resposta
Uma cota inferior para o raio de convergência é
.