Em cada uma das seguintes equações diferenciais, determine uma cota inferior para o raio de convergência da solução em série de potências em torno do ponto x_0 dado.
k. (1-x) y'' + x y' - y = 0, x0 = 0,

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar uma cota inferior para o raio de convergência da solução em série de potências da equação diferencial dada, em torno do ponto . Isso está relacionado com o conteúdo de séries de potências e equações diferenciais. Para resolver, vamos precisar identificar os pontos onde a equação pode ter problemas (singularidades) e usar isso para determinar o raio.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial para identificar os coeficientes das derivadas. A equação dada é:
Aqui, temos:
Identificar onde esses coeficientes se comportam mal nos ajuda a encontrar os pontos problemáticos.

Passo 3

Os pontos onde a solução em série pode ter problemas, ou seja, onde a série pode não convergir, são chamados de pontos singulares. Esses ocorrem onde ou onde os coeficientes e têm singularidades. Vamos encontrar onde :
Então, o ponto é uma singularidade.

Passo 4

Agora, para determinar o raio de convergência, calculamos a distância entre o ponto de expansão e a singularidade mais próxima. Nesse caso, a única singularidade é em :
ê
Isso significa que a série de potências convergirá pelo menos até o ponto .

Resposta

O raio de convergência da solução em série de potências em torno de é, pelo menos, 1.

Exercícios relacionados