Em cada uma das seguintes equações diferenciais, determine uma cota inferior para o raio de convergência da solução em série de potências em torno do ponto
dado.
k.
,
k.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar uma cota inferior para o raio de convergência da solução em série de potências da equação diferencial dada, em torno do ponto
. Isso está relacionado com o conteúdo de séries de potências e equações diferenciais. Para resolver, vamos precisar identificar os pontos onde a equação pode ter problemas (singularidades) e usar isso para determinar o raio.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial para identificar os coeficientes das derivadas. A equação dada é:
Aqui, temos:
Identificar onde esses coeficientes se comportam mal nos ajuda a encontrar os pontos problemáticos.
Passo 3
Os pontos onde a solução em série pode ter problemas, ou seja, onde a série pode não convergir, são chamados de pontos singulares. Esses ocorrem onde
ou onde os coeficientes
e
têm singularidades. Vamos encontrar onde
:
Então, o ponto
é uma singularidade.
Passo 4
Agora, para determinar o raio de convergência, calculamos a distância entre o ponto de expansão
e a singularidade mais próxima. Nesse caso, a única singularidade é em
:
Isso significa que a série de potências convergirá pelo menos até o ponto
.
Resposta
O raio de convergência da solução em série de potências em torno de
é, pelo menos, 1.