Em cada uma das seguintes equações diferenciais, determine uma cota inferior para o raio de convergência da solução em série de potências em torno do ponto
dado.
m.
,
m.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que está sendo pedido. Temos uma equação diferencial de segunda ordem:
O ponto em que vamos expandir a solução em série de potências é
. Nosso objetivo é encontrar uma cota inferior para o raio de convergência dessa série. Ou seja, queremos saber até onde essa série vai convergir antes de possivelmente encontrar um problema.
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre equações diferenciais lineares e raízes de singularidades que afetam a convergência das séries de potências.
Passo 2
Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão para facilitar a análise. A forma padrão de uma equação diferencial linear de segunda ordem é:
Para isso, dividimos toda a equação original por 2:
Agora, identificamos:
Passo 3
O próximo passo é identificar onde a equação pode apresentar singularidades, que são pontos onde as funções
ou
não são analíticas (ou seja, não podem ser representadas por uma série de potências). A presença de singularidades limita o raio de convergência da série de potências.
No nosso caso:
-
é um polinômio, que é analítico em todo o plano complexo. -
é uma constante, também analítica em todo lugar.
Passo 4
Como não há singularidades para
e
em nenhum ponto finito, a única possível singularidade seria no infinito. Isso significa que a solução em série de potências não encontrará nenhum obstáculo para convergir em qualquer ponto finito no plano complexo.
Resposta
Portanto, a cota inferior para o raio de convergência da solução em série de potências em torno de
é infinita.