Nos casos a seguir, é indicado o vetor posição de uma partícula. Encontre a equação da trajetória.
(b) r = (cos(2t), sen(2t))

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem o vetor posição de uma partícula dado por . O objetivo é encontrar a equação da trajetória dessa partícula. Isso significa que queremos uma relação entre as coordenadas e x que descrevam o caminho que a partícula está seguindo, sem depender do parâmetro y.

Passo 2

Vamos começar identificando as coordenadas x e y da partícula a partir do vetor posição. Temos:
Aqui, e x são funções do tempo y.

Passo 3

Para encontrar a equação da trajetória, precisamos eliminar o parâmetro t dessas equações. Uma maneira de fazer isso é usar uma identidade trigonométrica básica que relaciona e .
A identidade que vamos usar é:
Essa identidade vale para qualquer ângulo .

Passo 4

Aplicando a identidade trigonométrica às nossas equações, temos:
Substituindo e x nas suas respectivas expressões:
y
Isso elimina o parâmetro e relaciona diretamente t e x.

Resposta

A equação da trajetória da partícula é:

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