Nos casos a seguir, é indicado o vetor posição de uma partícula. Encontre a equação da trajetória.
© r = (2 * cos(2 * t), 2 * sen(2 * t), t)

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. A gente tem o vetor posição de uma partícula dado por . O objetivo aqui é encontrar a equação da trajetória dessa partícula. Para isso, vamos precisar usar conceitos de vetores posição e como eliminar o parâmetro para obter uma relação entre as coordenadas t, x e y.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as componentes do vetor posição. Temos:
Nosso objetivo é eliminar o parâmetro para relacionar t, x e y diretamente.

Passo 3

Vamos olhar para as primeiras duas equações, que envolvem x e y. Sabemos que . Aplicando isso às nossas equações:
Simplificando:
Isso nos dá a primeira relação entre e : uma equação de círculo com raio 2 no plano x.

Passo 4

Agora, vamos relacionar o z com as coordenadas x e y. Sabemos que . Da primeira equação, podemos isolar t:
Isso mostra que está diretamente ligado ao ângulo que a partícula forma no círculo do plano z.

Resposta

A equação da trajetória é e , formando uma hélice circular com raio 2.

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