Para cada uma das seguintes equações diferenciais, podemos determinar uma solução em série de potências em torno de x0 = 0 ? Além disso, se for o caso, qual o valor que você espera que tenha o raio de convergência de cada solução?
b. y'' + e^x y' - y = 0,

Passo 1

Ok, vamos começar resumindo o que a questão pede. Temos uma equação diferencial de segunda ordem:
O conteúdo que vamos utilizar aqui é a solução em série de potências para equações diferenciais. Vamos precisar expandir as funções envolvidas em séries de potências em torno de e encontrar os coeficientes que satisfazem a equação. Também vamos determinar o raio de convergência dessa série.

Passo 2

Primeiro, vamos assumir que a solução pode ser expressa como uma série de potências em torno de :
Onde são os coeficientes que precisamos encontrar.

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas de :
Vamos também lembrar que pode ser expandido em série de potências:

Passo 4

Substituindo , e na equação diferencial:
Para simplificar, vamos ajustar os índices das somas para que todas as potências de fiquem com o mesmo expoente.

Passo 5

Primeiro, ajustamos o índice da primeira soma substituindo :
A segunda soma envolve a multiplicação de duas séries:
E a última soma já está com :

Passo 6

Juntando tudo:
Para que essa equação seja válida para todo , o coeficiente de cada deve ser zero:

Passo 7

Agora, temos uma relação de recorrência para os coeficientes :
Essa relação nos permite determinar todos os coeficientes a partir dos valores iniciais e , que normalmente são dados pelas condições iniciais da equação.

Passo 8

Quanto ao raio de convergência, observamos que a série de tem raio de convergência infinito, já que a série converge para todo . Como os coeficientes são determinados a partir de , a série da solução também terá raio de convergência infinito.

Resposta

Sim, podemos determinar uma solução em série de potências em torno de para a equação diferencial dada, e o raio de convergência dessa série é infinito.

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