Para cada uma das seguintes equações diferenciais, podemos determinar uma solução em série de potências em torno de
? Além disso, se for o caso, qual o valor que você espera que tenha o raio de convergência de cada solução?
b.
,
b.
Passo 1
Ok, vamos começar resumindo o que a questão pede. Temos uma equação diferencial de segunda ordem:
O conteúdo que vamos utilizar aqui é a solução em série de potências para equações diferenciais. Vamos precisar expandir as funções envolvidas em séries de potências em torno de
e encontrar os coeficientes que satisfazem a equação. Também vamos determinar o raio de convergência dessa série.
Passo 2
Primeiro, vamos assumir que a solução
pode ser expressa como uma série de potências em torno de
:
Onde
são os coeficientes que precisamos encontrar.
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas de
:
Vamos também lembrar que
pode ser expandido em série de potências:
Passo 4
Substituindo
,
e
na equação diferencial:
Para simplificar, vamos ajustar os índices das somas para que todas as potências de
fiquem com o mesmo expoente.
Passo 5
Primeiro, ajustamos o índice da primeira soma substituindo
:
A segunda soma envolve a multiplicação de duas séries:
E a última soma já está com
:
Passo 6
Juntando tudo:
Para que essa equação seja válida para todo
, o coeficiente de cada
deve ser zero:
Passo 7
Agora, temos uma relação de recorrência para os coeficientes
:
Essa relação nos permite determinar todos os coeficientes
a partir dos valores iniciais
e
, que normalmente são dados pelas condições iniciais da equação.
Passo 8
Quanto ao raio de convergência, observamos que a série de
tem raio de convergência infinito, já que a série
converge para todo
. Como os coeficientes
são determinados a partir de
, a série da solução
também terá raio de convergência infinito.
Resposta
Sim, podemos determinar uma solução em série de potências em torno de
para a equação diferencial dada, e o raio de convergência dessa série é infinito.