Em cada uma das seguintes equações diferenciais, determine uma cota inferior para o raio de convergência da solução em série de potências em torno do ponto
dado.
f.
,
f.
Passo 1
Beleza, vamos olhar a questão: precisamos encontrar uma cota inferior para o raio de convergência da solução em série de potências da equação diferencial
em torno de
. A matéria envolvida aqui é a análise de equações diferenciais lineares e séries de potências. Para resolver, vamos precisar entender sobre pontos singulares e como eles afetam o raio de convergência.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os pontos singulares da equação diferencial. Uma equação diferencial linear de segunda ordem tem a forma geral:
Onde
,
e
são funções de
.
Passo 3
Um ponto
é chamado de ponto ordinário se as funções
e
forem analíticas em
. Caso contrário, é um ponto singular.
Passo 4
Na nossa equação, temos:
Calculando
e
. Ambas são funções polinomiais, que são analíticas em todo lugar no plano complexo.
Passo 5
Como não há pontos singulares próximos de
, a série de potências que representa a solução vai convergir em todo o plano complexo. Isso significa que o raio de convergência é infinito.
Resposta
A cota inferior para o raio de convergência da solução em série de potências é
.