Em cada uma das seguintes equações diferenciais, determine uma cota inferior para o raio de convergência da solução em série de potências em torno do ponto x_0 dado.
f. y'' + x y' + 2 y = 0, x0 = 0,

Passo 1

Beleza, vamos olhar a questão: precisamos encontrar uma cota inferior para o raio de convergência da solução em série de potências da equação diferencial em torno de . A matéria envolvida aqui é a análise de equações diferenciais lineares e séries de potências. Para resolver, vamos precisar entender sobre pontos singulares e como eles afetam o raio de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os pontos singulares da equação diferencial. Uma equação diferencial linear de segunda ordem tem a forma geral:
Onde , e são funções de .

Passo 3

Um ponto é chamado de ponto ordinário se as funções e forem analíticas em . Caso contrário, é um ponto singular.

Passo 4

Na nossa equação, temos:
Calculando e . Ambas são funções polinomiais, que são analíticas em todo lugar no plano complexo.

Passo 5

Como não há pontos singulares próximos de , a série de potências que representa a solução vai convergir em todo o plano complexo. Isso significa que o raio de convergência é infinito.

Resposta

A cota inferior para o raio de convergência da solução em série de potências é .

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