Em cada uma das seguintes equações diferenciais, determine uma cota inferior para o raio de convergência da solução em série de potências em torno do ponto x_0 dado.
i. (4 - x^2) y'' + 2 y = 0, x0 = 0,

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial: em torno de . O que a gente precisa aqui é descobrir uma cota mínima para o raio de convergência da solução em série de potências. Para isso, vamos usar conceitos de pontos singulares e distância desses pontos até o ponto de expansão.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação numa forma padrão para facilitar a análise. A equação original é:
Dividindo tudo por , ficamos com:

Passo 3

Agora, precisamos identificar os pontos singulares da equação. Os pontos singulares são aqueles valores de que tornam os coeficientes da equação indeterminados ou infinitos. Olhando para o termo , vemos que ele fica indefinido quando . Resolvendo isso:
Então, os pontos singulares estão em e .

Passo 4

Para determinar o raio de convergência da série de potências centrada em , usamos a distância do ponto de expansão até o ponto singular mais próximo. Nesse caso, os pontos singulares estão a uma distância de 2 unidades do zero (já que e ).

Passo 5

Portanto, o raio de convergência da série de potências não pode ser maior do que a menor distância até um ponto singular. Assim, a cota inferior para o raio de convergência é 2.

Resposta

A cota inferior para o raio de convergência da solução em série de potências é .

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