Em cada uma das seguintes equações diferenciais, determine uma cota inferior para o raio de convergência da solução em série de potências em torno do ponto
dado.
i.
,
i.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial:
em torno de
. O que a gente precisa aqui é descobrir uma cota mínima para o raio de convergência da solução em série de potências. Para isso, vamos usar conceitos de pontos singulares e distância desses pontos até o ponto de expansão.
Passo 2
Primeiro, vamos colocar a equação numa forma padrão para facilitar a análise. A equação original é:
Dividindo tudo por
, ficamos com:
Passo 3
Agora, precisamos identificar os pontos singulares da equação. Os pontos singulares são aqueles valores de
que tornam os coeficientes da equação indeterminados ou infinitos. Olhando para o termo
, vemos que ele fica indefinido quando
. Resolvendo isso:
Então, os pontos singulares estão em
e
.
Passo 4
Para determinar o raio de convergência da série de potências centrada em
, usamos a distância do ponto de expansão até o ponto singular mais próximo. Nesse caso, os pontos singulares estão a uma distância de 2 unidades do zero (já que
e
).
Passo 5
Portanto, o raio de convergência da série de potências não pode ser maior do que a menor distância até um ponto singular. Assim, a cota inferior para o raio de convergência é 2.
Resposta
A cota inferior para o raio de convergência da solução em série de potências é
.