Nos casos a seguir, é indicado o vetor posição de uma partícula. Encontre a equação da trajetória.
(f) r = (1 - 2 t + 2 t^2) * x + t * y

Passo 1

Então, temos o vetor posição de uma partícula dado por . Nosso objetivo aqui é encontrar a equação da trajetória dessa partícula, ou seja, queremos relacionar y e x sem o parâmetro t. Para isso, vamos usar conceitos de cinemática, especificamente a eliminação do parâmetro para obter a equação da trajetória.

Passo 2

Primeiro, vamos separar as componentes x(t) e y(t) do vetor posição:
Aqui, x(t) e y(t) nos dão a posição da partícula em função do tempo t nas direções x e y, respectivamente.

Passo 3

Nosso próximo passo é eliminar o parâmetro t para relacionar y diretamente com x. Observe que na segunda equação já temos y como função de t:
Podemos resolver essa equação para t:
Agora, substituímos esse valor de t na equação de x(t):

Passo 4

Assim, a equação da trajetória da partícula, relacionando x e y, é:
Essa é a equação que descreve o caminho percorrido pela partícula no plano xy.

Resposta

A equação da trajetória é .

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