Uma partícula da massa 2 Kg desloca-se ao longo do espaço segundo a posição como função do tempo dada por (1).
(d) Encontre a distância percorrida entre os instantes
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma partícula de massa 2 kg que se movimenta no espaço, e a posição dela em função do tempo é dada por:
O que a gente precisa fazer aqui é encontrar a distância que essa partícula percorre entre os tempos
e
. Para isso, vamos usar o conceito de distância percorrida por uma curva paramétrica, que envolve calcular o comprimento da trajetória.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para encontrar a distância percorrida por uma partícula ao longo de uma trajetória no espaço, usamos a fórmula do comprimento de arco para curvas paramétricas. A fórmula é:
Aqui,
e
são as derivadas das componentes da posição em relação ao tempo, e
e
são os tempos inicial e final, respectivamente.
Passo 3
Vamos identificar as componentes
e
da posição:
Agora, precisamos calcular as derivadas dessas funções em relação ao tempo
:
Passo 4
Agora, vamos substituir essas derivadas na fórmula do comprimento de arco:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
Sabemos que
(identidade trigonométrica básica):
Então, a integral fica:
Passo 6
Agora, é só calcular a integral simples:
Resposta
A distância percorrida pela partícula entre
e
é
unidades de comprimento.