Uma partícula da massa 2 Kg desloca-se ao longo do espaço segundo a posição como função do tempo dada por (1).
r = (2 sen(t), 2 cos(t))
(d) Encontre a distância percorrida entre os instantes t = 0 e t = 2*pi.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma partícula de massa 2 kg que se movimenta no espaço, e a posição dela em função do tempo é dada por:
O que a gente precisa fazer aqui é encontrar a distância que essa partícula percorre entre os tempos e . Para isso, vamos usar o conceito de distância percorrida por uma curva paramétrica, que envolve calcular o comprimento da trajetória.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para encontrar a distância percorrida por uma partícula ao longo de uma trajetória no espaço, usamos a fórmula do comprimento de arco para curvas paramétricas. A fórmula é:
Aqui, e são as derivadas das componentes da posição em relação ao tempo, e e são os tempos inicial e final, respectivamente.

Passo 3

Vamos identificar as componentes e da posição:
Agora, precisamos calcular as derivadas dessas funções em relação ao tempo :

Passo 4

Agora, vamos substituir essas derivadas na fórmula do comprimento de arco:

Passo 5

Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
Sabemos que (identidade trigonométrica básica):
Então, a integral fica:

Passo 6

Agora, é só calcular a integral simples:

Resposta

A distância percorrida pela partícula entre e é unidades de comprimento.

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