Em cada uma das seguintes equações diferenciais, determine uma cota inferior para o raio de convergência da solução em série de potências em torno do ponto
dado.
b.
,
b.
Passo 1
Vamos resolver a equação diferencial
em torno do ponto
. Nosso objetivo é determinar uma cota inferior para o raio de convergência da solução em série de potências. Para isso, vamos utilizar conhecimentos sobre séries de potências e análise de singularidades.
Passo 2
Primeiro, identificamos que estamos lidando com uma equação diferencial de segunda ordem linear com coeficientes polinomiais. O método para encontrar o raio de convergência envolve encontrar os pontos mais próximos de
onde a equação se torna singular, ou seja, onde os coeficientes da equação não são analíticos.
Passo 3
Reescrevemos a equação de forma padrão:
Aqui, os coeficientes são:
-
para o termo -
para o termo
Ambos são polinômios, o que significa que são analíticos em todo o plano complexo.
Passo 4
Como os coeficientes são analíticos em todo lugar, não há pontos de singularidade finitos. O único ponto onde a solução pode ter problemas é no infinito. Portanto, o raio de convergência será limitado pela distância do ponto
até o ponto de singularidade mais próximo.
Passo 5
Como não há singularidades finitas, o raio de convergência estende-se até o infinito. No entanto, para garantir uma cota inferior, podemos afirmar que o raio de convergência é pelo menos infinito, ou seja, a série converge para todo
.
Resposta
O raio de convergência da solução em série de potências em torno de
é pelo menos infinito.
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Uma partícula da massa 2 Kg desloca-se ao longo do espaço segundo a posição como função do tempo dada por (1).
(e) Encontre a distância percorrida entre os instantes
e
.
Em cada uns dos seguintes itens, resolva o problema de valor inicial dado como uma série de potência de
.
d.
d.
Para cada uma das seguintes equações diferenciais, podemos determinar uma solução em série de potências em torno de
? Além disso, se for o caso, qual o valor que você espera que tenha o raio de convergência de cada solução?
c.
c.
Em cada uns dos seguintes itens, resolva o problema de valor inicial dado como uma série de potência de
.
b.
b.