Em cada uma das seguintes equações diferenciais, determine uma cota inferior para o raio de convergência da solução em série de potências em torno do ponto x_0 dado.
b. y'' - x y' - y = 0, x0 = 1,

Passo 1

Vamos resolver a equação diferencial em torno do ponto . Nosso objetivo é determinar uma cota inferior para o raio de convergência da solução em série de potências. Para isso, vamos utilizar conhecimentos sobre séries de potências e análise de singularidades.

Passo 2

Primeiro, identificamos que estamos lidando com uma equação diferencial de segunda ordem linear com coeficientes polinomiais. O método para encontrar o raio de convergência envolve encontrar os pontos mais próximos de onde a equação se torna singular, ou seja, onde os coeficientes da equação não são analíticos.

Passo 3

Reescrevemos a equação de forma padrão:
Aqui, os coeficientes são:
  • para o termo
  • para o termo
    Ambos são polinômios, o que significa que são analíticos em todo o plano complexo.

Passo 4

Como os coeficientes são analíticos em todo lugar, não há pontos de singularidade finitos. O único ponto onde a solução pode ter problemas é no infinito. Portanto, o raio de convergência será limitado pela distância do ponto até o ponto de singularidade mais próximo.

Passo 5

Como não há singularidades finitas, o raio de convergência estende-se até o infinito. No entanto, para garantir uma cota inferior, podemos afirmar que o raio de convergência é pelo menos infinito, ou seja, a série converge para todo .

Resposta

O raio de convergência da solução em série de potências em torno de é pelo menos infinito.

Exercícios relacionados

Uma partícula da massa 2 Kg desloca-se ao longo do espaço segundo a posição como função do tempo dada por (1).
r = (2 sen(t), 2 cos(t))
(e) Encontre a distância percorrida entre os instantes t = 0 e t = 4 pi.
Em cada uns dos seguintes itens, resolva o problema de valor inicial dado como uma série de potência de x.
d. y'' + y = sen(x), y(0) = 0, y'(0) = 0
Para cada uma das seguintes equações diferenciais, podemos determinar uma solução em série de potências em torno de x0 = 0 ? Além disso, se for o caso, qual o valor que você espera que tenha o raio de convergência de cada solução?
c. y'' + cos(x) * y = 0
Em cada uns dos seguintes itens, resolva o problema de valor inicial dado como uma série de potência de x.
b. {y' = 1 + y^2, y(0) = 0}