Para cada uma das seguintes equações diferenciais, podemos determinar uma solução em série de potências em torno de
? Além disso, se for o caso, qual o valor que você espera que tenha o raio de convergência de cada solução?
c.
c.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a equação diferencial
. O objetivo é determinar se é possível encontrar uma solução usando uma série de potências em torno de
. Para isso, vamos usar o método de séries de potências e analisar o raio de convergência da série resultante.
Passo 2
Primeiro, lembramos que uma série de potências tem a forma
. Vamos expandir os termos da equação diferencial nessa forma para encontrar os coeficientes
.
Passo 3
Vamos expandir
em série de potências. Sabemos que:
Isso nos ajudará a substituir na equação diferencial.
Passo 4
Substituímos a expansão de
e a série de potências de
na equação diferencial:
Passo 5
Calculamos as derivadas de
:
Para alinhar as potências de
, fazemos uma mudança de índice:
Passo 6
Substituímos
e
na equação:
Agora, agrupamos os termos com a mesma potência de
.
Passo 7
Para que a equação seja satisfeita para todo
, os coeficientes de cada potência de
devem ser iguais a zero. Isso nos dá uma relação de recorrência para os coeficientes
:
Passo 8
Resolvemos a relação de recorrência para encontrar os coeficientes
. Geralmente, começamos com condições iniciais como
e
para determinar
e
, e então usamos a recorrência para encontrar os demais coeficientes.
Passo 9
Para determinar o raio de convergência da série, observamos que a série para
tem raio de convergência infinito. Como a equação diferencial não introduz singularidades adicionais, a série de potências para
também terá raio de convergência infinito.
Resposta
Sim, podemos determinar uma solução em série de potências para a equação diferencial
em torno de
, e o raio de convergência da série é infinito.
Exercícios relacionados
Em cada uma das seguintes equações diferenciais, determine uma cota inferior para o raio de convergência da solução em série de potências em torno do ponto
dado.
b. ,
b.
Uma partícula da massa 2 Kg desloca-se ao longo do espaço segundo a posição como função do tempo dada por (1).
(e) Encontre a distância percorrida entre os instantes
e
.
Em cada uns dos seguintes itens, resolva o problema de valor inicial dado como uma série de potência de
.
b.
b.
A posição de uma partícula é dada como função do tempo por
de modo unidimensional.
© Em que posição a partícula encontra-se quando ?
© Em que posição a partícula encontra-se quando