Uma partícula da massa 2 Kg desloca-se ao longo do espaço segundo a posição como função do tempo dada por (1).
(e) Encontre a distância percorrida entre os instantes
e
.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente tem uma partícula com massa de 2 kg que se move no espaço, e a posição dela em função do tempo é dada por:
O que a gente precisa encontrar é a distância percorrida por essa partícula entre os instantes
e
. Para isso, vamos usar conceitos de cinemática e cálculo, mais especificamente, a fórmula do comprimento de arco.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar que a distância percorrida por uma partícula é o comprimento do trajeto que ela faz. Matematicamente, isso é calculado integrando a velocidade em função do tempo.
A fórmula para a distância
é:
Onde:
-
é a velocidade da partícula. -
é o módulo da velocidade, ou seja, a rapidez. -
e são os instantes iniciais e finais (no caso, 0 e ).
Passo 3
Vamos encontrar a velocidade
. Sabemos que a velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo:
Derivando cada componente da posição:
Então,
Passo 4
Agora, vamos calcular o módulo da velocidade
:
Simplificando:
Observação: Usamos a identidade trigonométrica
.
Passo 5
Agora que temos
, vamos substituir na fórmula da distância:
Isso é uma integral simples de uma constante.
Passo 6
Calculando a integral:
Resposta
A distância percorrida entre os instantes
e
é
unidades de distância.
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.
d.
d.
Use o método das cascas cilíndricas para determinar os volumes dos sólidos obtidos com a rotação, em torno do eixo x, das regiões limitadas pelas curvas e retas a seguir:
Em cada uma das seguintes equações diferenciais, determine uma cota inferior para o raio de convergência da solução em série de potências em torno do ponto
dado.
b. ,
b.
Para cada uma das seguintes equações diferenciais, podemos determinar uma solução em série de potências em torno de
? Além disso, se for o caso, qual o valor que você espera que tenha o raio de convergência de cada solução?
c.
c.