Uma partícula da massa 2 Kg desloca-se ao longo do espaço segundo a posição como função do tempo dada por (1).
r = (2 sen(t), 2 cos(t))
(e) Encontre a distância percorrida entre os instantes t = 0 e t = 4 pi.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente tem uma partícula com massa de 2 kg que se move no espaço, e a posição dela em função do tempo é dada por:
O que a gente precisa encontrar é a distância percorrida por essa partícula entre os instantes e . Para isso, vamos usar conceitos de cinemática e cálculo, mais especificamente, a fórmula do comprimento de arco.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que a distância percorrida por uma partícula é o comprimento do trajeto que ela faz. Matematicamente, isso é calculado integrando a velocidade em função do tempo.
A fórmula para a distância é:
Onde:
  • é a velocidade da partícula.
  • é o módulo da velocidade, ou seja, a rapidez.
  • e são os instantes iniciais e finais (no caso, 0 e ).

Passo 3

Vamos encontrar a velocidade . Sabemos que a velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo:
Derivando cada componente da posição:
Então,

Passo 4

Agora, vamos calcular o módulo da velocidade :
Simplificando:
Observação: Usamos a identidade trigonométrica .

Passo 5

Agora que temos , vamos substituir na fórmula da distância:
Isso é uma integral simples de uma constante.

Passo 6

Calculando a integral:

Resposta

A distância percorrida entre os instantes e é unidades de distância.

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