Em cada uns dos seguintes itens, resolva o problema de valor inicial dado como uma série de potência de
.
b.
b.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um problema de valor inicial, onde precisamos resolver uma equação diferencial usando uma série de potências em
. A equação é:
Para resolver isso, vamos assumir que
pode ser escrita como uma série de potências e encontrar seus coeficientes.
Passo 2
Primeiro, vamos supor que
pode ser representada por uma série de potências:
Isso significa que
é igual a
Passo 3
Vamos derivar
para encontrar
:
Isso é só aplicar a regra da derivada termo a termo na série.
Passo 4
Agora, temos que igualar
a
. Primeiro, vamos escrever
:
Isso envolve multiplicar a série por ela mesma e combinar os termos de mesma potência.
Passo 5
A equação fica então:
Vamos ajustar os índices para que ambos os lados tenham potências iguais de
.
Passo 6
Reescrevendo o lado esquerdo para ter potências de
:
Agora, podemos igualar os coeficientes de
de ambos os lados.
Passo 7
Para
:
Sabemos que
, então
. Portanto:
Passo 8
Para
:
Vamos usar essa relação para encontrar os coeficientes seguintes.
Passo 9
Vamos calcular alguns coeficientes:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Passo 10
Agora, podemos escrever a série de potência com os coeficientes encontrados:
Resposta
A solução da equação diferencial dada, escrita como uma série de potência em
, é: