Em cada uns dos seguintes itens, resolva o problema de valor inicial dado como uma série de potência de x.
b. {y' = 1 + y^2, y(0) = 0}

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um problema de valor inicial, onde precisamos resolver uma equação diferencial usando uma série de potências em . A equação é:
Para resolver isso, vamos assumir que pode ser escrita como uma série de potências e encontrar seus coeficientes.

Passo 2

Primeiro, vamos supor que pode ser representada por uma série de potências:
Isso significa que é igual a

Passo 3

Vamos derivar para encontrar :
Isso é só aplicar a regra da derivada termo a termo na série.

Passo 4

Agora, temos que igualar a . Primeiro, vamos escrever :
Isso envolve multiplicar a série por ela mesma e combinar os termos de mesma potência.

Passo 5

A equação fica então:
Vamos ajustar os índices para que ambos os lados tenham potências iguais de .

Passo 6

Reescrevendo o lado esquerdo para ter potências de :
Agora, podemos igualar os coeficientes de de ambos os lados.

Passo 7

Para :
Sabemos que , então . Portanto:

Passo 8

Para :
Vamos usar essa relação para encontrar os coeficientes seguintes.

Passo 9

Vamos calcular alguns coeficientes:
  • Para :
  • Para :
  • Para :
  • Para :

Passo 10

Agora, podemos escrever a série de potência com os coeficientes encontrados:

Resposta

A solução da equação diferencial dada, escrita como uma série de potência em , é:

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Para cada uma das seguintes equações diferenciais, podemos determinar uma solução em série de potências em torno de x0 = 0 ? Além disso, se for o caso, qual o valor que você espera que tenha o raio de convergência de cada solução?
c. y'' + cos(x) * y = 0
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A posição de uma partícula é dada como função do tempo por s(t) = 1 - 3t + t^2 + 3t^3 de modo unidimensional.
© Em que posição a partícula encontra-se quando t = -10 ?
A posição de uma partícula no instante de tempo 0 é 0,125 e sua velocidade nesse instante é 0,5 . O movimento é unidimensional e sua aceleração como função do tempo é dada por a(t) = 2 cos(4 t) + t.
© Encontre a posição como função do tempo.