Em cada uns dos seguintes itens, resolva o problema de valor inicial dado como uma série de potência de
.
b.
b.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um problema de valor inicial, onde precisamos resolver uma equação diferencial usando uma série de potências em
. A equação é:
Para resolver isso, vamos assumir que
pode ser escrita como uma série de potências e encontrar seus coeficientes.
Passo 2
Primeiro, vamos supor que
pode ser representada por uma série de potências:
Isso significa que
é igual a
Passo 3
Vamos derivar
para encontrar
:
Isso é só aplicar a regra da derivada termo a termo na série.
Passo 4
Agora, temos que igualar
a
. Primeiro, vamos escrever
:
Isso envolve multiplicar a série por ela mesma e combinar os termos de mesma potência.
Passo 5
A equação fica então:
Vamos ajustar os índices para que ambos os lados tenham potências iguais de
.
Passo 6
Reescrevendo o lado esquerdo para ter potências de
:
Agora, podemos igualar os coeficientes de
de ambos os lados.
Passo 7
Para
:
Sabemos que
, então
. Portanto:
Passo 8
Para
:
Vamos usar essa relação para encontrar os coeficientes seguintes.
Passo 9
Vamos calcular alguns coeficientes:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Passo 10
Agora, podemos escrever a série de potência com os coeficientes encontrados:
Resposta
A solução da equação diferencial dada, escrita como uma série de potência em
, é:
Exercícios relacionados
Para cada uma das seguintes equações diferenciais, podemos determinar uma solução em série de potências em torno de
? Além disso, se for o caso, qual o valor que você espera que tenha o raio de convergência de cada solução?
c.
c.
Em cada uma das seguintes equações diferenciais, determine uma cota inferior para o raio de convergência da solução em série de potências em torno do ponto
dado.
b. ,
b.
A posição de uma partícula é dada como função do tempo por
de modo unidimensional.
© Em que posição a partícula encontra-se quando ?
© Em que posição a partícula encontra-se quando
A posição de uma partícula no instante de tempo 0 é 0,125 e sua velocidade nesse instante é 0,5 . O movimento é unidimensional e sua aceleração como função do tempo é dada por
.
© Encontre a posição como função do tempo.
© Encontre a posição como função do tempo.