Em cada uns dos seguintes itens, resolva o problema de valor inicial dado como uma série de potência de x.
b. {y' = 1 + y^2, y(0) = 0}

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um problema de valor inicial, onde precisamos resolver uma equação diferencial usando uma série de potências em . A equação é:
Para resolver isso, vamos assumir que pode ser escrita como uma série de potências e encontrar seus coeficientes.

Passo 2

Primeiro, vamos supor que pode ser representada por uma série de potências:
Isso significa que é igual a

Passo 3

Vamos derivar para encontrar :
Isso é só aplicar a regra da derivada termo a termo na série.

Passo 4

Agora, temos que igualar a . Primeiro, vamos escrever :
Isso envolve multiplicar a série por ela mesma e combinar os termos de mesma potência.

Passo 5

A equação fica então:
Vamos ajustar os índices para que ambos os lados tenham potências iguais de .

Passo 6

Reescrevendo o lado esquerdo para ter potências de :
Agora, podemos igualar os coeficientes de de ambos os lados.

Passo 7

Para :
Sabemos que , então . Portanto:

Passo 8

Para :
Vamos usar essa relação para encontrar os coeficientes seguintes.

Passo 9

Vamos calcular alguns coeficientes:
  • Para :
  • Para :
  • Para :
  • Para :

Passo 10

Agora, podemos escrever a série de potência com os coeficientes encontrados:

Resposta

A solução da equação diferencial dada, escrita como uma série de potência em , é:

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