Em cada uns dos seguintes itens, resolva o problema de valor inicial dado como uma série de potência de .
d.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! Temos uma equação diferencial de segunda ordem com algumas condições iniciais. O conteúdo que vamos usar aqui envolve séries de potência para resolver equações diferenciais. Vamos precisar conhecer um pouco sobre como expressar funções como somas de potências de e como manipular séries. A equação que vamos resolver é:
Passo 2
Primeiro, vamos assumir que a solução pode ser escrita como uma série de potências de . Isso significa que podemos expressar da seguinte forma:
Onde são os coeficientes que precisamos encontrar.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a derivada primeira e a segunda de , já que a equação envolve . Vamos derivar termo a termo:
Passo 4
Substituímos e na equação original :
Passo 5
Vamos ajustar os índices das séries para que tenham potências de iguais. Na primeira soma, vamos fazer uma substituição de índice :
Agora, podemos escrever ambas as séries com o mesmo índice :
Passo 6
Sabemos que também pode ser escrito como uma série de potências:
Para que as duas séries sejam iguais para todos os , os coeficientes de devem ser iguais. Portanto, temos:
á
Passo 7
Agora, vamos resolver essa recorrência para os coeficientes . Primeiro, aplicamos as condições iniciais:
Para :
Para a derivada:
Agora, usando a relação de recorrência:
Onde é a função delta de Kronecker, que é 1 quando é ímpar e 0 caso contrário.
Passo 8
Vamos calcular alguns coeficientes para entender o padrão:
Para :
Para :
Para :
Para :
E assim por diante.
Passo 9
Com os coeficientes determinados, podemos escrever a solução como uma série de potência:
Substituindo os valores que encontramos:
Resposta
A solução da equação diferencial dada, expandida como uma série de potência, é: