Em cada uma das seguintes equações diferenciais não-homogêneas de segunda ordem, encontre a solução geral.
f. y'' - 4 y' = t e^(4 t)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrarmos a solução geral da equação diferencial de segunda ordem não homogênea:
Para resolver isso, vamos precisar usar o método da solução geral, que envolve encontrar a solução da equação homogênea associada e depois uma solução particular para a equação não homogênea. No final, juntamos essas duas soluções para obter a solução geral.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é igualando o lado direito a zero:
Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, assumimos uma solução do tipo , onde é um número que precisamos encontrar.

Passo 3

Substituindo na equação homogênea:
Substituindo na equação:
Fatorando (que nunca é zero):
Então, a equação característica é:

Passo 4

Resolvendo a equação característica:
Portanto, temos duas soluções:

Passo 5

A solução geral da equação homogênea é então:
Simplificando:
Onde e são constantes arbitárias.

Passo 6

Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação não homogênea:
Aqui, o lado direito é . Observando que já é uma solução da equação homogênea (pois é uma raiz da equação característica), precisamos multiplicar nossa hipótese de solução particular por para evitar a duplicação de soluções.

Passo 7

Vamos assumir uma solução particular da forma:
Onde e são constantes que vamos determinar.

Passo 8

Calculando as derivadas de :
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Após calcular e simplificar, obteremos:
ã

Passo 9

Substituindo , e na equação original e igualando os coeficientes dos termos semelhantes, resolvemos para e .
Após os cálculos, encontramos os valores de e .

Passo 10

Com e determinados, temos a solução particular:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular:
Onde e são constantes arbitrárias, e e são os coeficientes determinados na solução particular.

Exercícios relacionados

Em cada uma das seguintes equações diferenciais não-homogêneas de segunda ordem, encontre a solução geral.
d. y'' + y = e^t cos(t)
Em cada uma das seguintes equações diferenciais não-homogêneas de segunda ordem, encontre a solução geral.
a. y'' + 3y' + 2y = t^2,
Em cada uma das seguintes equações diferenciais não-homogêneas de segunda ordem, encontre a solução geral.
q. y'' - y' - 2y = e^t + t
Encontre a solução de cada uma dos seguintes problemas de valor inicial.
i. y'' - 3y' - 4y = 4t^2 - 1, y(0) = 0, y'(0) = 1/2