Em cada uma das seguintes equações diferenciais não-homogêneas de segunda ordem, encontre a solução geral.
f.
f.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrarmos a solução geral da equação diferencial de segunda ordem não homogênea:
Para resolver isso, vamos precisar usar o método da solução geral, que envolve encontrar a solução da equação homogênea associada e depois uma solução particular para a equação não homogênea. No final, juntamos essas duas soluções para obter a solução geral.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é igualando o lado direito a zero:
Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, assumimos uma solução do tipo
, onde
é um número que precisamos encontrar.
Passo 3
Substituindo
na equação homogênea:
Substituindo na equação:
Fatorando
(que nunca é zero):
Então, a equação característica é:
Passo 4
Resolvendo a equação característica:
Portanto, temos duas soluções:
Passo 5
A solução geral da equação homogênea é então:
Simplificando:
Onde
e
são constantes arbitárias.
Passo 6
Agora, vamos encontrar uma solução particular
para a equação não homogênea:
Aqui, o lado direito é
. Observando que
já é uma solução da equação homogênea (pois
é uma raiz da equação característica), precisamos multiplicar nossa hipótese de solução particular por
para evitar a duplicação de soluções.
Passo 7
Vamos assumir uma solução particular da forma:
Onde
e
são constantes que vamos determinar.
Passo 8
Calculando as derivadas de
:
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Após calcular e simplificar, obteremos:
Passo 9
Substituindo
,
e
na equação original e igualando os coeficientes dos termos semelhantes, resolvemos para
e
.
Após os cálculos, encontramos os valores de
e
.
Passo 10
Com
e
determinados, temos a solução particular:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular:
Onde
e
são constantes arbitrárias, e
e
são os coeficientes determinados na solução particular.
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Em cada uma das seguintes equações diferenciais não-homogêneas de segunda ordem, encontre a solução geral.
d.
d.
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a. ,
a.
Em cada uma das seguintes equações diferenciais não-homogêneas de segunda ordem, encontre a solução geral.
q.
q.
Encontre a solução de cada uma dos seguintes problemas de valor inicial.
i. ,
,
i.