Em cada uma das seguintes equações diferenciais não-homogêneas de segunda ordem, encontre a solução geral.
q. y'' - y' - 2y = e^t + t

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de segunda ordem que é não-homogênea:
Aqui, a matéria envolvida é equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, a gente vai precisar achar a solução geral, que é composta pela solução da equação homogênea associada mais uma solução particular da equação completa.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação, ou seja, onde o lado direito é zero:
Isso é uma equação diferencial homogênea linear de segunda ordem. Para resolver, usamos a equação característica. Vamos supor que a solução tem a forma , e substituímos na equação:
Dividindo por (que nunca é zero), fica:

Passo 3

Agora, resolvemos a equação característica quadrática:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Então, temos duas raízes:

Passo 4

Com essas raízes, a solução geral da equação homogênea é:
Onde e são constantes que a gente determina com condições iniciais, se tiver.

Passo 5

Agora, vamos encontrar uma solução particular da equação completa:
A gente faz isso encontrando soluções particulares para cada termo do lado direito e depois soma elas. Ou seja, vamos achar , onde:
  • é a solução para
  • é a solução para

Passo 6

Primeiro, para :
Como não é solução da equação homogênea (as raízes da equação característica não incluem ), assumimos que:
Onde é uma constante a ser encontrada.

Passo 7

Vamos derivar :
Substituindo na equação original:
Então:
Portanto:

Passo 8

Agora, para :
Como temos um termo polinomial de primeiro grau, assumimos uma solução particular da forma:
Onde e são constantes a serem encontradas.

Passo 9

Vamos derivar :
Substituindo na equação original:
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes:
Para :
Para os termos constantes:
Então:

Passo 10

Agora, somamos as soluções particulares:

Passo 11

Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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Em cada uma das seguintes equações diferenciais não-homogêneas de segunda ordem, encontre a solução geral.
f. y'' - 4 y' = t e^(4 t)
Em cada uma das seguintes equações diferenciais não-homogêneas de segunda ordem, encontre a solução geral.
d. y'' + y = e^t cos(t)
Encontre a solução de cada uma dos seguintes problemas de valor inicial.
i. y'' - 3y' - 4y = 4t^2 - 1, y(0) = 0, y'(0) = 1/2
Em cada uma das seguintes equações diferenciais não-homogêneas de segunda ordem, encontre a solução geral.
g. d²y/dt² + y = csc(t);