Em cada uma das seguintes equações diferenciais não-homogêneas de segunda ordem, encontre a solução geral.
q.
q.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de segunda ordem que é não-homogênea:
Aqui, a matéria envolvida é equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, a gente vai precisar achar a solução geral, que é composta pela solução da equação homogênea associada mais uma solução particular da equação completa.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação, ou seja, onde o lado direito é zero:
Isso é uma equação diferencial homogênea linear de segunda ordem. Para resolver, usamos a equação característica. Vamos supor que a solução tem a forma
, e substituímos na equação:
Dividindo por
(que nunca é zero), fica:
Passo 3
Agora, resolvemos a equação característica quadrática:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Então, temos duas raízes:
Passo 4
Com essas raízes, a solução geral da equação homogênea é:
Onde
e
são constantes que a gente determina com condições iniciais, se tiver.
Passo 5
Agora, vamos encontrar uma solução particular da equação completa:
A gente faz isso encontrando soluções particulares para cada termo do lado direito e depois soma elas. Ou seja, vamos achar
, onde:
-
é a solução para -
é a solução para
Passo 6
Primeiro, para
:
Como
não é solução da equação homogênea (as raízes da equação característica não incluem
), assumimos que:
Onde
é uma constante a ser encontrada.
Passo 7
Vamos derivar
:
Substituindo na equação original:
Então:
Portanto:
Passo 8
Agora, para
:
Como temos um termo polinomial de primeiro grau, assumimos uma solução particular da forma:
Onde
e
são constantes a serem encontradas.
Passo 9
Vamos derivar
:
Substituindo na equação original:
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes:
Para
:
Para os termos constantes:
Então:
Passo 10
Agora, somamos as soluções particulares:
Passo 11
Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
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Em cada uma das seguintes equações diferenciais não-homogêneas de segunda ordem, encontre a solução geral.
f.
f.
Em cada uma das seguintes equações diferenciais não-homogêneas de segunda ordem, encontre a solução geral.
d.
d.
Encontre a solução de cada uma dos seguintes problemas de valor inicial.
i. ,
,
i.
Em cada uma das seguintes equações diferenciais não-homogêneas de segunda ordem, encontre a solução geral.
g. ;
g.