Encontre a solução de cada uma dos seguintes problemas de valor inicial.
i.
,
,
i.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem aqui um problema de equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais. O enunciado é:
com as condições:
Vamos resolver isso passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos identificar que estamos lidando com uma equação diferencial linear não homogênea. Para resolver, precisamos encontrar a solução geral, que é a soma da solução da equação homogênea associada (
) e uma solução particular da equação completa.
Passo 3
Vamos resolver a equação homogênea:
Para isso, assumimos uma solução do tipo
. Substituindo na equação, temos:
Dividindo por
(que nunca é zero):
Passo 4
Agora, vamos resolver a equação quadrática:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Então, as raízes são:
Passo 5
Com as raízes encontradas, a solução geral da equaç��o homogênea é:
onde
e
são constantes que vamos determinar depois.
Passo 6
Agora, vamos encontrar uma solução particular (
) para a equação não homogênea:
O lado direito é um polinômio de segundo grau. Então, vamos assumir que
também é um polinômio de segundo grau:
Passo 7
Vamos calcular as derivadas de
:
Passo 8
Substituindo
,
e
na equação original:
Simplificando:
Reagrupando os termos:
Passo 9
Agora, vamos igualar os coeficientes dos termos correspondentes:
Para
:
Para
:
Substituindo
:
Para o termo constante:
Substituindo
e
:
Passo 10
Então, a solução particular é:
Passo 11
A solução geral da equação não homogênea é a soma da solução homogênea e da solução particular:
Passo 12
Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar
e
.
Primeira condição:
Substituindo
:
Passo 13
Segunda condição:
Primeiro, vamos encontrar
:
Agora, substituindo
:
Passo 14
Agora, temos um sistema de equações:
Vamos somar as duas equações:
Agora, substituindo
na equação (1):
Resposta
A solução do problema é:
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Em cada uma das seguintes equações diferenciais não-homogêneas de segunda ordem, encontre a solução geral.
q.
q.
Em cada uma das seguintes equações diferenciais não-homogêneas de segunda ordem, encontre a solução geral.
f.
f.
Em cada uma das seguintes equações diferenciais não-homogêneas de segunda ordem, encontre a solução geral.
g. ;
g.
Em cada um dos seguintes itens, primeiro verifique que as funções dadas
e
satisfazem a equação homogênea associada, depois encontre uma solução particular da equação não-homogênea dada, e, por último, escreva a respectiva solução geral.
h. ,
,
.
h.