Em cada uma das seguintes equações diferenciais não-homogêneas de segunda ordem, encontre a solução geral.
g. ;
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de segunda ordem que é não-homogênea. A equação que temos é:
Aqui, estamos lidando com uma equação linear de segunda ordem. Para resolver isso, vamos precisar encontrar a solução geral, que é a soma da solução da equação homogênea associada com uma solução particular que resolve a equação completa.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Para resolver essa equação, assumimos uma solução da forma e encontramos os valores de que satisfazem a equação. Substituindo, temos:
Como nunca é zero, a equação característica é:
Portanto, as soluções são funções trigonométricas. A solução geral da equação homogênea é:
onde e são constantes arbitrárias.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar uma solução particular () para a equação não-homogênea:
Como o termo do lado direito é (que é ), uma boa estratégia é usar o método de variação dos parâmetros. Esse método nos permite encontrar uma solução particular quando a equação não é fácil de resolver por métodos mais simples como o de coeficientes indeterminados.
Passo 4
Para aplicar a variação dos parâmetros, precisamos das duas soluções da equação homogênea, que já encontramos:
Também precisamos calcular o Wronskiano () dessas soluções:
$$
W =
= \cos^2 t + \sin^2 t = 1
$$
Com o Wronskiano calculado, a fórmula para a solução particular é:
onde .
Substituindo os valores:
Simplificando:
Então:
C
Podemos ignorar a constante de integração na solução particular, pois ela será absorvida pelas constantes da solução homogênea.