Encontre a solução de cada uma dos seguintes problemas de valor inicial.
l. y'' + 4y = 3 sen(2t), y(0) = 0, y'(0) = 1/4

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial juntos! A questão é uma equação diferencial do tipo:
com as condições iniciais e .
Vamos precisar usar conhecimentos de equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes. Nosso objetivo é encontrar a função que satisfaz essa equação e essas condições iniciais.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com solução geral da forma:
Aqui, e são constantes que vamos determinar depois usando as condições iniciais.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar uma solução particular para a equação não homogênea:
Como o lado direito da equação é , que já aparece na solução homogênea, precisamos multiplicar nossa tentativa por para evitar a duplicação de termos. Então, vamos supor que a solução particular seja:
onde e são constantes a serem encontradas.

Passo 4

Vamos calcular as derivadas de :
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Simplificando:

Passo 5

Substituímos e na equação original:
Substituindo:
Simplificando os termos:
Os termos com se cancelam, e ficamos com:

Passo 6

Agora, igualamos os coeficientes dos termos de e :
Para :
Para :

Passo 7

Portanto, a solução particular é:

Passo 8

A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:

Passo 9

Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar e .
Primeira condição:
Substituindo :
Simplificando:
Então, .

Passo 10

Segunda condição:
Primeiro, encontramos a derivada geral :
Como :
Agora, substituímos :
Simplificando:
Resolvendo para :

Resposta

A solução da equação diferencial com as condições iniciais dadas é:

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Encontre a solução de cada uma dos seguintes problemas de valor inicial.
g. y'' - 3 y' - 4 y = -8 e^t cos(2 t), y(0) = 10 / 13, y'(0) = 1/13
Em cada uma das seguintes equações diferenciais não-homogêneas de segunda ordem, encontre a solução geral.
o. d²y/dt² + dy/dx + 4y = e^t - e^(-t)
Em cada uma das seguintes equações diferenciais não-homogêneas de segunda ordem, encontre a solução geral.
p. y'' - y' - 2y = (e^t + e^(-t)) / 2
Encontre a solução de cada uma dos seguintes problemas de valor inicial.
h. y'' - 3y' - 4y = 2e^(-t), y(0) = 1, y'(0) = 3/5