Encontre a solução de cada uma dos seguintes problemas de valor inicial.
l.
,
,
l.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial juntos! A questão é uma equação diferencial do tipo:
com as condições iniciais
e
.
Vamos precisar usar conhecimentos de equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes. Nosso objetivo é encontrar a função
que satisfaz essa equação e essas condições iniciais.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com solução geral da forma:
Aqui,
e
são constantes que vamos determinar depois usando as condições iniciais.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar uma solução particular
para a equação não homogênea:
Como o lado direito da equação é
, que já aparece na solução homogênea, precisamos multiplicar nossa tentativa por
para evitar a duplicação de termos. Então, vamos supor que a solução particular seja:
onde
e
são constantes a serem encontradas.
Passo 4
Vamos calcular as derivadas de
:
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Simplificando:
Passo 5
Substituímos
e
na equação original:
Substituindo:
Simplificando os termos:
Os termos com
se cancelam, e ficamos com:
Passo 6
Agora, igualamos os coeficientes dos termos de
e
:
Para
:
Para
:
Passo 7
Portanto, a solução particular é:
Passo 8
A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:
Passo 9
Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar
e
.
Primeira condição:
Substituindo
:
Simplificando:
Então,
.
Passo 10
Segunda condição:
Primeiro, encontramos a derivada geral
:
Como
:
Agora, substituímos
:
Simplificando:
Resolvendo para
:
Resposta
A solução da equação diferencial com as condições iniciais dadas é:
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Encontre a solução de cada uma dos seguintes problemas de valor inicial.
g. ,
,
g.
Em cada uma das seguintes equações diferenciais não-homogêneas de segunda ordem, encontre a solução geral.
o.
o.
Em cada uma das seguintes equações diferenciais não-homogêneas de segunda ordem, encontre a solução geral.
p.
p.
Encontre a solução de cada uma dos seguintes problemas de valor inicial.
h. ,
,
h.