Em cada uma das seguintes equações diferenciais não-homogêneas de segunda ordem, encontre a solução geral.
p.
p.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de segunda ordem que é não-homogênea. O enunciado é:
Vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais lineares, especificamente encontrar a solução geral que é a soma da solução da equação homogênea e uma solução particular.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação, ou seja, quando o lado direito é zero:
Para resolver isso, a gente forma a equação característica substituindo
por
:
Essa é uma equação quadrática que podemos resolver usando a fórmula de Bhaskara.
Passo 3
Resolvendo a equação quadrática:
Então, temos duas raízes:
Com essas raízes distintas, a solução geral da parte homogênea é:
Onde
e
são constantes que a gente determina com condições iniciais, se tiver.
Passo 4
Agora, vamos encontrar uma solução particular da equação completa:
Como o lado direito é uma combinação linear de
e
, vamos supor que a solução particular tem a forma:
Onde
e
são constantes que precisamos determinar.
Passo 5
Vamos derivar
para substituir na equação:
Substituindo na equação diferencial:
Passo 6
Simplificando a expressão:
Isso reduz para:
Então, igualando os coeficientes:
Aqui percebemos que houve um erro na nossa hipótese, porque o termo com
não está funcionando. Isso acontece porque
é solução da parte homogênea. Então, precisamos multiplicar por
para ajustar.
Passo 7
Vamos corrigir nossa hipótese assumindo:
Agora, vamos derivar novamente e substituir na equação para encontrar
e
.
Passo 8
Depois de fazer os cálculos (que são um pouco longos), encontramos que:
Então, a solução particular fica:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
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l. ,
,
l.
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g. ,
,
g.
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h. ,
,
h.
Em cada uma das seguintes equações diferenciais não-homogêneas de segunda ordem, encontre a solução geral.
r.
r.