Encontre a solução de cada uma dos seguintes problemas de valor inicial.
h. y'' - 3y' - 4y = 2e^(-t), y(0) = 1, y'(0) = 3/5

Passo 1

Beleza, vamos resolver o problema que você enviou! O enunciado pede para encontrar a solução de uma equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais. O conteúdo principal aqui é Equações Diferenciais Lineares de Coeficientes Constantes. Para resolver, vamos precisar:
  • Encontrar a solução geral da equação homogênea associada.
  • Encontrar uma solução particular para a equação completa.
  • Aplicar as condições iniciais para determinar as constantes da solução geral.

Passo 2

Primeiro, vamos considerar a equação diferencial homogênea associada, que é:
Para resolver essa equação, precisamos encontrar as raízes da equação característica.

Passo 3

A equação característica é obtida substituindo na equação homogênea. Assim, temos:
Vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de .

Passo 4

Resolvendo a equação quadrática , usamos a fórmula de Bhaskara:
Então, as raízes são:

Passo 5

Com as raízes e , a solução geral da equação homogênea é:
Onde e são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais.

Passo 6

Agora, precisamos encontrar uma solução particular para a equação completa:
Observamos que o termo do lado direito é , que já aparece na solução homogênea. Portanto, vamos multiplicar por para obter uma forma adequada para a solução particular:

Passo 7

Vamos derivar para substituir na equação diferencial:
Primeira derivada:
Segunda derivada:

Passo 8

Substituindo , e na equação diferencial:
Simplificando:
Combine os termos semelhantes:

Passo 9

Igualando os coeficientes dos termos semelhantes:
Para :
Como o termo com desapareceu, não há necessidade de ajuste adicional.

Passo 10

Agora, temos a solução particular:

Passo 11

A solução geral da equação completa é a soma da solução homogênea com a solução particular:

Passo 12

Vamos aplicar as condições iniciais para encontrar e .
Primeira condição:
Substituindo :
Segunda condição:
Primeiro, vamos encontrar a derivada de :
Substituindo :

Passo 13

Temos o sistema de equações:
Somando as duas equações:
Substituindo na primeira equação:

Resposta

A solução da equação diferencial é:

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Em cada uma das seguintes equações diferenciais não-homogêneas de segunda ordem, encontre a solução geral.
p. y'' - y' - 2y = (e^t + e^(-t)) / 2
Encontre a solução de cada uma dos seguintes problemas de valor inicial.
l. y'' + 4y = 3 sen(2t), y(0) = 0, y'(0) = 1/4
Em cada uma das seguintes equações diferenciais não-homogêneas de segunda ordem, encontre a solução geral.
r. y'' + 2y' + 5y = 16e^t + sen(2t)
Encontre a solução de cada uma dos seguintes problemas de valor inicial.
j. y'' - 3y' - 4y = 2 sen(t), y(0) = 3/17, y'(0) = 12 / 17