Encontre a solução de cada uma dos seguintes problemas de valor inicial.
h.
,
,
h.
Passo 1
Beleza, vamos resolver o problema que você enviou! O enunciado pede para encontrar a solução de uma equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais. O conteúdo principal aqui é Equações Diferenciais Lineares de Coeficientes Constantes. Para resolver, vamos precisar:
- Encontrar a solução geral da equação homogênea associada.
- Encontrar uma solução particular para a equação completa.
- Aplicar as condições iniciais para determinar as constantes da solução geral.
Passo 2
Primeiro, vamos considerar a equação diferencial homogênea associada, que é:
Para resolver essa equação, precisamos encontrar as raízes da equação característica.
Passo 3
A equação característica é obtida substituindo
na equação homogênea. Assim, temos:
Vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de
.
Passo 4
Resolvendo a equação quadrática
, usamos a fórmula de Bhaskara:
Então, as raízes são:
Passo 5
Com as raízes
e
, a solução geral da equação homogênea é:
Onde
e
são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais.
Passo 6
Agora, precisamos encontrar uma solução particular
para a equação completa:
Observamos que o termo do lado direito é
, que já aparece na solução homogênea. Portanto, vamos multiplicar por
para obter uma forma adequada para a solução particular:
Passo 7
Vamos derivar
para substituir na equação diferencial:
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Passo 8
Substituindo
,
e
na equação diferencial:
Simplificando:
Combine os termos semelhantes:
Passo 9
Igualando os coeficientes dos termos semelhantes:
Para
:
Como o termo com
desapareceu, não há necessidade de ajuste adicional.
Passo 10
Agora, temos a solução particular:
Passo 11
A solução geral da equação completa é a soma da solução homogênea com a solução particular:
Passo 12
Vamos aplicar as condições iniciais para encontrar
e
.
Primeira condição:
Substituindo
:
Segunda condição:
Primeiro, vamos encontrar a derivada de
:
Substituindo
:
Passo 13
Temos o sistema de equações:
Somando as duas equações:
Substituindo
na primeira equação:
Resposta
A solução da equação diferencial é:
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Em cada uma das seguintes equações diferenciais não-homogêneas de segunda ordem, encontre a solução geral.
p.
p.
Encontre a solução de cada uma dos seguintes problemas de valor inicial.
l. ,
,
l.
Em cada uma das seguintes equações diferenciais não-homogêneas de segunda ordem, encontre a solução geral.
r.
r.
Encontre a solução de cada uma dos seguintes problemas de valor inicial.
j. ,
,
j.