Em cada uma das seguintes equações diferenciais não-homogêneas de segunda ordem, encontre a solução geral.
r. y'' + 2y' + 5y = 16e^t + sen(2t)

Passo 1

Então, a gente tem uma equação diferencial de segunda ordem que não é homogênea. O enunciado é . Vou te mostrar como encontrar a solução geral dessa equação. Vamos precisar usar a solução da equação homogênea associada e encontrar soluções particulares para cada termo do lado direito.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada: . Para isso, montamos a equação característica: .

Passo 3

Resolvendo a equação característica usando a fórmula de Bhaskara:
Isso significa que as raízes são complexas: .

Passo 4

Com raízes complexas da forma , a solução geral da equação homogênea é:
Aqui, e , então:

Passo 5

Agora, vamos encontrar uma solução particular para o termo . Suponhamos que a solução particular tenha a forma , onde é uma constante a ser encontrada.

Passo 6

Derivando :
Substituindo na equação original:
Dividindo ambos os lados por :
Então, a solução particular para é:

Passo 7

Agora, vamos encontrar uma solução particular para o termo . Suponhamos que a solução particular tenha a forma , onde e são constantes a serem encontradas.

Passo 8

Derivando :
Substituindo na equação original:
Simplificando:
Agrupando termos:
Isso nos dá o sistema de equações:

Passo 9

Resolvendo o sistema:
Da primeira equação:
Substituindo na segunda equação:
Então:
Portanto, a solução particular para é:

Passo 10

Agora, juntando tudo, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com as soluções particulares:
Substituindo os valores encontrados:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde e são constantes arbitrárias.

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