Em cada uma das seguintes equações diferenciais não-homogêneas de segunda ordem, encontre a solução geral.
r.
r.
Passo 1
Então, a gente tem uma equação diferencial de segunda ordem que não é homogênea. O enunciado é
. Vou te mostrar como encontrar a solução geral dessa equação. Vamos precisar usar a solução da equação homogênea associada e encontrar soluções particulares para cada termo do lado direito.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
. Para isso, montamos a equação característica:
.
Passo 3
Resolvendo a equação característica
usando a fórmula de Bhaskara:
Isso significa que as raízes são complexas:
.
Passo 4
Com raízes complexas da forma
, a solução geral da equação homogênea é:
Aqui,
e
, então:
Passo 5
Agora, vamos encontrar uma solução particular para o termo
. Suponhamos que a solução particular tenha a forma
, onde
é uma constante a ser encontrada.
Passo 6
Derivando
:
Substituindo na equação original:
Dividindo ambos os lados por
:
Então, a solução particular para
é:
Passo 7
Agora, vamos encontrar uma solução particular para o termo
. Suponhamos que a solução particular tenha a forma
, onde
e
são constantes a serem encontradas.
Passo 8
Derivando
:
Substituindo na equação original:
Simplificando:
Agrupando termos:
Isso nos dá o sistema de equações:
Passo 9
Resolvendo o sistema:
Da primeira equação:
Da primeira equação:
Substituindo na segunda equação:
Então:
Portanto, a solução particular para
é:
Passo 10
Agora, juntando tudo, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com as soluções particulares:
Substituindo os valores encontrados:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
e
são constantes arbitrárias.
Exercícios relacionados
Encontre a solução de cada uma dos seguintes problemas de valor inicial.
h. ,
,
h.
Em cada uma das seguintes equações diferenciais não-homogêneas de segunda ordem, encontre a solução geral.
p.
p.
Encontre a solução de cada uma dos seguintes problemas de valor inicial.
j. ,
,
j.
Em cada uma das seguintes equações diferenciais não-homogêneas de segunda ordem, encontre a solução geral.
h. ;
h.