Determine se
é contínua em
.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para determinar se a função vetorial
é contínua em
. Aqui, estamos trabalhando com o conceito de continuidade de funções em análise matemática, e vamos precisar entender como cada componente da função se comporta quando
tende ao infinito.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma função ser contínua em
. Basicamente, isso quer dizer que à medida que
cresce sem limites, os componentes da função não apresentam “saltos” ou comportamentos erráticos. Para verificar isso, vamos analisar o limite de cada componente da função quando
tende ao infinito.
Passo 3
Vamos começar com o primeiro componente da função:
. O logaritmo natural de
cresce sem limites quando
tende ao infinito. Matematicamente, isso é expresso como:
Isso significa que esse componente não tem um limite finito em
, mas ainda assim é contínuo porque não há interrupções ou pontos de descontinuidade.
Passo 4
Agora, analisamos o segundo componente:
. Essa expressão é equivalente a
. Quando
tende ao infinito,
tende a zero:
Isso mostra que esse componente tem um limite finito e é contínuo em
.
Passo 5
Por último, vamos verificar o terceiro componente:
. Quando
tende ao infinito,
também tende ao infinito:
Assim como o primeiro componente, este também cresce sem limites, mas de forma contínua.
Resposta
A função
é contínua em
porque cada um de seus componentes é contínuo quando
tende ao infinito.