Determine se f(t) = (ln(t), t^(-1), t^2) é contínua em t = infinito.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para determinar se a função vetorial é contínua em . Aqui, estamos trabalhando com o conceito de continuidade de funções em análise matemática, e vamos precisar entender como cada componente da função se comporta quando tende ao infinito.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma função ser contínua em . Basicamente, isso quer dizer que à medida que cresce sem limites, os componentes da função não apresentam “saltos” ou comportamentos erráticos. Para verificar isso, vamos analisar o limite de cada componente da função quando tende ao infinito.

Passo 3

Vamos começar com o primeiro componente da função: . O logaritmo natural de cresce sem limites quando tende ao infinito. Matematicamente, isso é expresso como:
Isso significa que esse componente não tem um limite finito em , mas ainda assim é contínuo porque não há interrupções ou pontos de descontinuidade.

Passo 4

Agora, analisamos o segundo componente: . Essa expressão é equivalente a . Quando tende ao infinito, tende a zero:
Isso mostra que esse componente tem um limite finito e é contínuo em .

Passo 5

Por último, vamos verificar o terceiro componente: . Quando tende ao infinito, também tende ao infinito:
Assim como o primeiro componente, este também cresce sem limites, mas de forma contínua.

Resposta

A função é contínua em porque cada um de seus componentes é contínuo quando tende ao infinito.

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