Em cada um dos seguintes itens, resolva a equação diferencial de primeira ordem dada como uma série de potências de
.
e.
,
e.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial de primeira ordem
usando uma série de potências em
. Isso significa que vamos expressar a solução
como uma soma de potências de
. Para isso, vamos precisar lembrar como funciona uma série de potências e como derivar termo a termo.
Passo 2
Primeiro, vamos supor que a solução
pode ser escrita como uma série de potências:
Aqui,
são os coeficientes que precisamos encontrar.
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada de
em relação a
:
Para facilitar a comparação, vamos reescrever essa soma mudando o índice:
Passo 4
Substituímos
e
na equação diferencial original:
Ficando:
Passo 5
Vamos simplificar a segunda soma multiplicando por
:
Para alinhar os expoentes, mudamos o índice da segunda soma para
:
Renomeando
para
:
Passo 6
Agora, igualamos os coeficientes de cada potência de
a zero:
Para
:
Para
:
Passo 7
Vamos estabelecer uma relação de recorrência para os coeficientes:
Observando isso, percebemos que apenas os coeficientes com índices pares serão diferentes de zero (já que
,
, etc.). Assim, podemos escrever a série como:
Usando a relação de recorrência, encontramos que:
Portanto, a solução geral em série de potências é:
Resposta
A solução da equação diferencial é
, onde
é uma constante arbitrária.