Em cada um dos seguintes itens, resolva a equação diferencial de primeira ordem dada como uma série de potências de x.
e. y' - 2 x y = 0,

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial de primeira ordem usando uma série de potências em . Isso significa que vamos expressar a solução como uma soma de potências de . Para isso, vamos precisar lembrar como funciona uma série de potências e como derivar termo a termo.

Passo 2

Primeiro, vamos supor que a solução pode ser escrita como uma série de potências:
Aqui, são os coeficientes que precisamos encontrar.

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada de em relação a :
Para facilitar a comparação, vamos reescrever essa soma mudando o índice:

Passo 4

Substituímos e na equação diferencial original:
Ficando:

Passo 5

Vamos simplificar a segunda soma multiplicando por :
Para alinhar os expoentes, mudamos o índice da segunda soma para :
Renomeando para :

Passo 6

Agora, igualamos os coeficientes de cada potência de a zero:
Para :
Para :

Passo 7

Vamos estabelecer uma relação de recorrência para os coeficientes:
Observando isso, percebemos que apenas os coeficientes com índices pares serão diferentes de zero (já que , , etc.). Assim, podemos escrever a série como:
Usando a relação de recorrência, encontramos que:
Portanto, a solução geral em série de potências é:

Resposta

A solução da equação diferencial é , onde é uma constante arbitrária.

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