I. (a) Qual é a diferença entre uma sequência e uma série?
(b) O que é uma série convergente? O que é uma série divergente?
2. Explique o significado de se dizer que sumn=1^infty an=5.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que foi pedido. Temos três perguntas principais:
  1. A diferença entre uma sequência e uma série.
  2. O que são séries convergentes e divergentes.
  3. O significado de dizer que sumn=1^infty an=5.
    Para resolver isso, vamos precisar entender os conceitos básicos de sequências e séries, além de aprender como determinar se uma série converge ou diverge.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre a diferença entre uma sequência e uma série.
  • Sequência: É uma lista ordenada de números. Por exemplo, a sequência dos números naturais é 1, 2, 3, 4, 5, …
  • Série: É a soma dos termos de uma sequência. Por exemplo, a série correspondente à sequência dos números naturais seria 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + dots
Então, basicamente, uma sequência é uma lista de números, enquanto uma série é a soma desses números.

Passo 3

Agora, vamos entender o que significa uma série ser convergente ou divergente.
  • Série Convergente: É uma série cuja soma dos termos se aproxima de um número finito conforme adicionamos mais termos. Ou seja, se a soma das partes da série se estabiliza em algum valor, a série converge.
  • Série Divergente: É uma série que não converge, ou seja, a soma dos termos não se aproxima de nenhum número finito. Ela pode aumentar indefinidamente ou não ter um padrão que se estabilize.
Por exemplo, a série 1 + 12 + 14 + 18 + dots é convergente porque a soma se aproxima de 2. Já a série 1 + 2 + 3 + 4 + dots é divergente porque a soma aumenta sem limite.

Passo 4

Por fim, vamos interpretar o que significa dizer que sumn=1^infty an = 5.
Essa notação indica que a soma infinita dos termos an (começando de n=1 até o infinito) converge para o valor 5. Em outras palavras, conforme adicionamos mais e mais termos da série, a soma total se aproxima cada vez mais de 5 e, no limite, a soma é exatamente 5.

Resposta

  1. Sequência vs. Série: Uma sequência é uma lista ordenada de números, enquanto uma série é a soma desses números.
  2. Série Convergente e Divergente: Uma série convergente tem uma soma que se aproxima de um número finito, já uma série divergente não tem essa estabilidade e pode aumentar sem limite.
  3. Interpretação de sumn=1^infty an = 5: Significa que a soma infinita dos termos an converge para o valor 5.

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