Para cada uma das seguintes equações diferenciais, podemos determinar uma solução em série de potências em torno de x0 = 0 ? Além disso, se for o caso, qual o valor que você espera que tenha o raio de convergência de cada solução?
e. x y'' + (sen x) y' + x y = 0,

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me passou uma equação diferencial e quer saber se dá para resolver usando uma série de potências em torno de . Além disso, você quer saber qual é o raio de convergência que esperamos para essa solução. Vamos precisar usar conceitos de séries de potência e analisar os coeficientes da equação diferencial.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar. A equação dada é:
Queremos ver se conseguimos expressar como uma série de potências:
E então encontrar os coeficientes .

Passo 3

Antes de mais nada, precisamos verificar se os coeficientes da equação são analíticos em . A função pode ser expandida em série de potências:
Isso mostra que é toda uma série de potências com raio de convergência infinito.

Passo 4

Como os coeficientes e são analíticos em , podemos aplicar o método de série de potências para resolver a equação diferencial. Isso significa que é possível determinar uma solução em série de potências em torno de .

Passo 5

Quanto ao raio de convergência, como os coeficientes e têm raio de convergência infinito, esperamos que a série de potência também tenha raio de convergência infinito. Ou seja, a solução em série de potências será válida para todos os valores de .

Resposta

Sim, podemos determinar uma solução em série de potências em torno de para a equação dada, e o raio de convergência esperado para essa solução é infinito.

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