Para cada uma das seguintes equações diferenciais, podemos determinar uma solução em série de potências em torno de
? Além disso, se for o caso, qual o valor que você espera que tenha o raio de convergência de cada solução?
e.
,
e.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me passou uma equação diferencial e quer saber se dá para resolver usando uma série de potências em torno de
. Além disso, você quer saber qual é o raio de convergência que esperamos para essa solução. Vamos precisar usar conceitos de séries de potência e analisar os coeficientes da equação diferencial.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar. A equação dada é:
Queremos ver se conseguimos expressar
como uma série de potências:
E então encontrar os coeficientes
.
Passo 3
Antes de mais nada, precisamos verificar se os coeficientes da equação são analíticos em
. A função
pode ser expandida em série de potências:
Isso mostra que
é toda uma série de potências com raio de convergência infinito.
Passo 4
Como os coeficientes
e
são analíticos em
, podemos aplicar o método de série de potências para resolver a equação diferencial. Isso significa que é possível determinar uma solução em série de potências em torno de
.
Passo 5
Quanto ao raio de convergência, como os coeficientes
e
têm raio de convergência infinito, esperamos que a série de potência também tenha raio de convergência infinito. Ou seja, a solução em série de potências será válida para todos os valores de
.
Resposta
Sim, podemos determinar uma solução em série de potências em torno de
para a equação dada, e o raio de convergência esperado para essa solução é infinito.
Exercícios relacionados
Uma partícula da massa 2 Kg desloca-se ao longo do espaço segundo a posição como função do tempo dada por (1).
(d) Encontre a distância percorrida entre os instantes
e
.
Uma partícula da massa 2 Kg desloca-se ao longo do espaço segundo a posição como função do tempo dada por (1).
(b) Encontre a aceleração da partícula como função do tempo.
Se
, então quanto vale
?
a) 27 .
b) 18 .
c) 9 .
d) 6 .
e) 12 .
a) 27 .
b) 18 .
c) 9 .
d) 6 .
e) 12 .
Uma partícula da massa 2 Kg desloca-se ao longo do espaço segundo a posição como função do tempo dada por (1).
(i) Em que instantes de tempo a partícula tem movimento formando um ângulo de
com o eixo