Uma partícula da massa 2 Kg desloca-se ao longo do espaço segundo a posição como função do tempo dada por (1).
r = (2 sen(t), 2 cos(t))
(i) Em que instantes de tempo a partícula tem movimento formando um ângulo de 45^0 com o eixo x ?

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! Temos uma partícula de massa 2 kg que se move no espaço com a posição dada por . O enunciado pede para descobrir em quais instantes de tempo a direção do movimento forma um ângulo de com o eixo . Para isso, vamos precisar usar conceitos de derivadas para encontrar a velocidade e, em seguida, determinar o ângulo entre o vetor velocidade e o eixo .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a velocidade da partícula. A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Então, derivamos cada componente de :

Passo 3

Agora, queremos encontrar o ângulo que o vetor velocidade faz com o eixo . Para isso, usamos a tangente do ângulo, que é a razão entre a componente e a componente da velocidade:

Passo 4

Sabemos que queremos que . Então, temos:
Isso implica que:

Passo 5

Vamos resolver . Sabemos que a tangente é negativa no segundo e quarto quadrantes. As soluções para são:
Isso significa que os instantes de tempo onde o ângulo é ocorrem a cada unidades de tempo, começando em .

Resposta

Os instantes de tempo em que a partícula tem movimento formando um ângulo de com o eixo são:
é

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