Em cada uma das seguintes equações diferenciais de segunda ordem, encontre a solução geral.
m. 4 d^2y/dx^2 + 12 dy/dx + 9y = 0,

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem:
Isso faz parte de um conteúdo chamado Equações Diferenciais Lineares de Segunda Ordem. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral dessa equação, que geralmente envolve encontrar raízes de uma equação característica.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação dividindo todos os termos por 4 para facilitar:
Isso nos ajuda a trabalhar com coeficientes menores.

Passo 3

Agora, escrevemos a equação característica associada a essa equação diferencial. Para uma equação do tipo:
A equação característica é:
No nosso caso:

Passo 4

Vamos resolver essa equação quadrática para encontrar as raízes . Usamos a fórmula de Bhaskara:
Substituindo os valores:
Então, temos uma raiz dupla:

Passo 5

Quando temos raízes reais e iguais (raízes duplas) na equação característica, a solução geral da equação diferencial é dada por:
Substituindo :
onde e são constantes que podem ser determinadas por condições iniciais.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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