Em cada uma das seguintes equações diferenciais de segunda ordem, encontre a solução geral.
m.
,
m.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem:
Isso faz parte de um conteúdo chamado Equações Diferenciais Lineares de Segunda Ordem. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral dessa equação, que geralmente envolve encontrar raízes de uma equação característica.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a equação dividindo todos os termos por 4 para facilitar:
Isso nos ajuda a trabalhar com coeficientes menores.
Passo 3
Agora, escrevemos a equação característica associada a essa equação diferencial. Para uma equação do tipo:
A equação característica é:
No nosso caso:
Passo 4
Vamos resolver essa equação quadrática para encontrar as raízes
. Usamos a fórmula de Bhaskara:
Substituindo os valores:
Então, temos uma raiz dupla:
Passo 5
Quando temos raízes reais e iguais (raízes duplas) na equação característica, a solução geral da equação diferencial é dada por:
Substituindo
:
onde
e
são constantes que podem ser determinadas por condições iniciais.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é: