Encontre a solução de cada uma dos seguintes problemas de valor inicial.
f.
, com
e
f.
Passo 1
Vamos resolver o problema de valor inicial dado pela equação diferencial
com as condições iniciais
e
. Aqui,
e
são constantes positivas. Para resolver isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a equação dividindo ambos os lados por
:
Essa é uma equação diferencial homogênea de segunda ordem.
Passo 3
Agora, vamos encontrar a solução geral dessa equação. Para isso, montamos a equação característica:
Resolvendo para
:
Os valores de
são complexos puros, o que indica que a solução será uma combinação de funções seno e cosseno.
Passo 4
A solução geral da equação é então:
onde
e
são constantes que determinaremos usando as condições iniciais.
Passo 5
Aplicando a primeira condição inicial
:
Portanto,
.
Agora, aplicando a segunda condição
:
Primeiro, encontramos a derivada de :
Primeiro, encontramos a derivada de
Então, em
:
Resposta
A solução do problema é: