Encontre a solução de cada uma dos seguintes problemas de valor inicial.
f. m y'' + k y = 0
y(0) = y0, y'(0) = 0, com m > 0 e k > 0

Passo 1

Vamos resolver o problema de valor inicial dado pela equação diferencial com as condições iniciais e . Aqui, e são constantes positivas. Para resolver isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação dividindo ambos os lados por :
Essa é uma equação diferencial homogênea de segunda ordem.

Passo 3

Agora, vamos encontrar a solução geral dessa equação. Para isso, montamos a equação característica:
Resolvendo para :
Os valores de são complexos puros, o que indica que a solução será uma combinação de funções seno e cosseno.

Passo 4

A solução geral da equação é então:
onde e são constantes que determinaremos usando as condições iniciais.

Passo 5

Aplicando a primeira condição inicial :
Portanto, .
Agora, aplicando a segunda condição :
Primeiro, encontramos a derivada de :
Então, em :

Resposta

A solução do problema é:

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