Em cada uma das seguintes equações diferenciais de segunda ordem, encontre a solução geral.
g. 9 d²y/dx² + 9 dy/dx - 4y = 0,

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de segunda ordem:

Estamos trabalhando com equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral dessa equação, que envolve determinar as raízes da equação característica.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação diferencial de forma padrão:

No nosso caso, temos:
-
-
-

Passo 3

Agora, vamos formar a equação característica associada à equação diferencial. A equação característica é dada por:

Substituindo os valores:

Passo 4

Vamos resolver essa equação quadrática para encontrar as raízes . A fórmula de Bhaskara é:

Vamos calcular o discriminante ( ):

Passo 5

Com o discriminante calculado, encontramos as raízes:

Isso nos dá duas raízes distintas:
-
-

Passo 6

Como as raízes são reais e distintas, a solução geral da equação diferencial é uma combinação linear das soluções exponenciais correspondentes a cada raiz. Portanto, a solução geral é:

onde e são constantes arbitrárias.

Resposta

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