Em cada uma das seguintes equações diferenciais de segunda ordem, encontre a solução geral.
g.
,
g.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de segunda ordem:
Estamos trabalhando com equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral dessa equação, que envolve determinar as raízes da equação característica.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação diferencial de forma padrão:
No nosso caso, temos:
-
-
-
Passo 3
Agora, vamos formar a equação característica associada à equação diferencial. A equação característica é dada por:
Substituindo os valores:
Passo 4
Vamos resolver essa equação quadrática para encontrar as raízes
. A fórmula de Bhaskara é:
Vamos calcular o discriminante (
Passo 5
Com o discriminante calculado, encontramos as raízes:
Isso nos dá duas raízes distintas:
-
-
Passo 6
Como as raízes são reais e distintas, a solução geral da equação diferencial é uma combinação linear das soluções exponenciais correspondentes a cada raiz. Portanto, a solução geral é:
onde