Encontre a solução de cada uma dos seguintes problemas de valor inicial.
a. d²y/dx² + 9y = 0
y(0)=1, y'(0)=-1

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de segunda ordem que foi dada: , com as condições iniciais e . Esse tipo de problema está relacionado ao estudo de equações diferenciais homogêneas de coeficientes constantes. Vamos precisar encontrar a solução geral da equação e depois aplicar as condições iniciais para encontrar os valores das constantes.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a equação característica associada à equação diferencial. Substituímos por e por 1, obtendo:

Passo 3

Resolvendo a equação característica:
Isso nos diz que as raízes são imaginárias puras. Quando temos raízes da forma , onde e , a solução geral da equação diferencial é dada por:

Passo 4

Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar os valores de e .
Primeira condição: .
Substituindo na solução geral:

Passo 5

Segunda condição: .
Primeiro, precisamos encontrar a derivada da solução geral:
Agora, substituindo :

Resposta

A solução da equação diferencial com as condições iniciais dadas é:

Exercícios relacionados

<html><head></head><body><div>Em cada uma das seguintes equações diferenciais de segunda ordem, encontre a solução geral.<br>
m. <span class="math-inline ">
<mjx-container class=“MathJax” jax=“SVG”><svg style=“vertical-align: -0.871ex;” xmlns=“
http://www.w3.org/2000/svg” width=“21.497ex” height=“3.303ex” role=“img” focusable=“false” viewBox=“0 -1074.6 9501.5 1459.8”><title>4 d2y/dx2 + 12 dy/dx + 9y = 0</title><g stroke=“currentColor” fill=“currentColor” stroke-width=“0” transform=“scale(1,-1)”><g data-mml-node=“math”><g data-mml-node=“mn”><path data-c=“34” d=“M462 0Q444 3 333 3Q217 3 199 0H190V46H221Q241 46 248 46T265 48T279 53T286 61Q287 63 287 115V165H28V211L179 442Q332 674 334 675Q336 677 355 677H373L379 671V211H471V165H379V114Q379 73 379 66T385 54Q393 47 442 46H471V0H462ZM293 211V545L74 212L183 211H293Z”></path></g><g data-mml-node=“mfrac” transform=“translate(500,0)”><g data-mml-node=“mrow” transform=“translate(249,485) scale(0.707)”><g data-mml-node=“msup”><g data-mml-node=“mi”><path data-c=“1D451” d=“M366 683Q367 683 438 688T511 694Q523 694 523 686Q523 679 450 384T375 83T374 68Q374 26 402 26Q411 27 422 35Q443 55 463 131Q469 151 473 152Q475 153 483 153H487H491Q506 153 506 145Q506 140 503 129Q490 79 473 48T445 8T417 -8Q409 -10 393 -10Q359 -10 336 5T306 36L300 51Q299 52 296 50Q294 48 292 46Q233 -10 172 -10Q117 -10 75 30T33 157Q33 205 53 255T101 341Q148 398 195 420T280 442Q336 442 364 400Q369 394 369 396Q370 400 396 505T424 616Q424 629 417 632T378 637H357Q351 643 351 645T353 664Q358 683 366 683ZM352 326Q329 405 277 405Q242 405 210 374T160 293Q131 214 119 129Q119 126 119 118T118 106Q118 61 136 44T179 26Q233 26 290 98L298 109L352 326Z”></path></g><g data-mml-node=“TeXAtom” transform=“translate(553,363) scale(0.707)” data-mjx-texclass=“ORD”><g data-mml-node=“mn”><path data-c=“32” d=“M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 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d=“M366 683Q367 683 438 688T511 694Q523 694 523 686Q523 679 450 384T375 83T374 68Q374 26 402 26Q411 27 422 35Q443 55 463 131Q469 151 473 152Q475 153 483 153H487H491Q506 153 506 145Q506 140 503 129Q490 79 473 48T445 8T417 -8Q409 -10 393 -10Q359 -10 336 5T306 36L300 51Q299 52 296 50Q294 48 292 46Q233 -10 172 -10Q117 -10 75 30T33 157Q33 205 53 255T101 341Q148 398 195 420T280 442Q336 442 364 400Q369 394 369 396Q370 400 396 505T424 616Q424 629 417 632T378 637H357Q351 643 351 645T353 664Q358 683 366 683ZM352 326Q329 405 277 405Q242 405 210 374T160 293Q131 214 119 129Q119 126 119 118T118 106Q118 61 136 44T179 26Q233 26 290 98L298 109L352 326Z”></path></g><g data-mml-node=“msup” transform=“translate(520,0)”><g data-mml-node=“mi”><path data-c=“1D465” d=“M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 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</body></html>
<html><head></head><body><div>Em cada uma das seguintes equações diferenciais de segunda ordem, encontre a solução geral.<br>
g. <span class="math-inline ">
<mjx-container class=“MathJax” jax=“SVG”><svg style=“vertical-align: -0.871ex;” xmlns=“
http://www.w3.org/2000/svg” width=“20.365ex” height=“3.303ex” role=“img” focusable=“false” viewBox=“0 -1074.6 9001.5 1459.8”><title>9 d²y/dx² + 9 dy/dx - 4y = 0</title><g stroke=“currentColor” fill=“currentColor” stroke-width=“0” transform=“scale(1,-1)”><g data-mml-node=“math”><g data-mml-node=“mn”><path data-c=“39” d=“M352 287Q304 211 232 211Q154 211 104 270T44 396Q42 412 42 436V444Q42 537 111 606Q171 666 243 666Q245 666 249 666T257 665H261Q273 665 286 663T323 651T370 619T413 560Q456 472 456 334Q456 194 396 97Q361 41 312 10T208 -22Q147 -22 108 7T68 93T121 149Q143 149 158 135T173 96Q173 78 164 65T148 49T135 44L131 43Q131 41 138 37T164 27T206 22H212Q272 22 313 86Q352 142 352 280V287ZM244 248Q292 248 321 297T351 430Q351 508 343 542Q341 552 337 562T323 588T293 615T246 625Q208 625 181 598Q160 576 154 546T147 441Q147 358 152 329T172 282Q197 248 244 248Z”></path></g><g data-mml-node=“mfrac” transform=“translate(500,0)”><g data-mml-node=“mrow” transform=“translate(249,485) scale(0.707)”><g 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f. <span class="math-inline ">
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<html><head></head><body><div>Encontre o Wronskiano de cada um dos seguintes conjuntos de funções:<br>
c. <span class="math-inline ">
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