Encontre a solução de cada uma dos seguintes problemas de valor inicial.
a.
a.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de segunda ordem que foi dada:
, com as condições iniciais
e
. Esse tipo de problema está relacionado ao estudo de equações diferenciais homogêneas de coeficientes constantes. Vamos precisar encontrar a solução geral da equação e depois aplicar as condições iniciais para encontrar os valores das constantes.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a equação característica associada à equação diferencial. Substituímos
por
e
por 1, obtendo:
Passo 3
Resolvendo a equação característica:
Isso nos diz que as raízes são imaginárias puras. Quando temos raízes da forma
, onde
e
, a solução geral da equação diferencial é dada por:
Passo 4
Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar os valores de
e
.
Primeira condição:
.
Substituindo
na solução geral:
Passo 5
Segunda condição:
.
Primeiro, precisamos encontrar a derivada da solução geral:
Agora, substituindo
:
Resposta
A solução da equação diferencial com as condições iniciais dadas é: