Em cada uma das seguintes equações diferenciais de segunda ordem, encontre a solução geral.
p.
,
p.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem:
Isso está relacionado com o estudo de equações diferenciais lineares homogêneas. Para resolver isso, vamos precisar achar as raízes da equação característica associada e usar essas raízes para escrever a solução geral.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a equação característica dessa equação diferencial. A equação geral para uma equação diferencial de segunda ordem linear homogênea da forma:
tem uma equação característica:
No nosso caso, os coeficientes são:
Então, a equação característica fica:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de
. Vamos usar a fórmula de Bhaskara:
Substituindo os valores:
Calculando o discriminante (
):
Como o discriminante é positivo e um quadrado perfeito, teremos duas raízes reais e distintas.
Passo 4
Vamos calcular as raízes:
Sabemos que
, então:
Passo 5
Com as raízes
e
, podemos escrever a solução geral da equação diferencial. Quando temos duas raízes reais e distintas, a solução geral é:
Substituindo os valores das raízes:
Onde
e
são constantes arbitrárias que dependem das condições iniciais.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é: