Em cada uma das seguintes equações diferenciais de segunda ordem, encontre a solução geral.
p. 4 d²y/dx² + 17 dy/dx + 4y = 0,

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem:
Isso está relacionado com o estudo de equações diferenciais lineares homogêneas. Para resolver isso, vamos precisar achar as raízes da equação característica associada e usar essas raízes para escrever a solução geral.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a equação característica dessa equação diferencial. A equação geral para uma equação diferencial de segunda ordem linear homogênea da forma:
tem uma equação característica:
No nosso caso, os coeficientes são:
Então, a equação característica fica:

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de . Vamos usar a fórmula de Bhaskara:
Substituindo os valores:
Calculando o discriminante ( ):
Como o discriminante é positivo e um quadrado perfeito, teremos duas raízes reais e distintas.

Passo 4

Vamos calcular as raízes:
Sabemos que , então:

Passo 5

Com as raízes e , podemos escrever a solução geral da equação diferencial. Quando temos duas raízes reais e distintas, a solução geral é:
Substituindo os valores das raízes:
Onde e são constantes arbitrárias que dependem das condições iniciais.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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