Encontre a solução de cada uma dos seguintes problemas de valor inicial.
d.
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Passo 1
Beleza, a gente tem aqui um problema de equação diferencial de segunda ordem. O que isso significa? Basicamente, é uma equação que envolve a função
e suas derivadas até a segunda ordem. O enunciado é:
com as condições iniciais:
Vamos precisar usar técnicas de resolução de equações diferenciais lineares homogêneas para encontrar a função
que satisfaz tudo isso.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar essa equação. Podemos dividir todos os termos por 2 pra facilitar:
Agora, temos uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes.
Passo 3
Para resolver, a gente assume que a solução tem a forma
. Isso nos ajuda a transformar a equação diferencial em uma equação algébrica:
Como
nunca é zero, podemos dividir por ele:
Essa é a equação característica.
Passo 4
Vamos resolver a equação característica:
Fatorando:
Então, as raízes são:
Passo 5
Com as raízes encontradas, a solução geral da equação diferencial é:
Simplificando:
Agora, vamos usar as condições iniciais pra encontrar os valores das constantes
e
.
Passo 6
Primeiro, aplicamos
:
Agora, derivamos
pra usar
:
Resolvendo:
Substituindo de volta na primeira equação:
Resposta
A solução do problema é: