Encontre a solução de cada uma dos seguintes problemas de valor inicial.
d. 2 d²y/dx² + 3 dy/dx = 0, y(0) = -2, y'(0) = 3;

Passo 1

Beleza, a gente tem aqui um problema de equação diferencial de segunda ordem. O que isso significa? Basicamente, é uma equação que envolve a função e suas derivadas até a segunda ordem. O enunciado é:
com as condições iniciais:
Vamos precisar usar técnicas de resolução de equações diferenciais lineares homogêneas para encontrar a função que satisfaz tudo isso.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar essa equação. Podemos dividir todos os termos por 2 pra facilitar:
Agora, temos uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes.

Passo 3

Para resolver, a gente assume que a solução tem a forma . Isso nos ajuda a transformar a equação diferencial em uma equação algébrica:
Como nunca é zero, podemos dividir por ele:
Essa é a equação característica.

Passo 4

Vamos resolver a equação característica:
Fatorando:
Então, as raízes são:

Passo 5

Com as raízes encontradas, a solução geral da equação diferencial é:
Simplificando:
Agora, vamos usar as condições iniciais pra encontrar os valores das constantes e .

Passo 6

Primeiro, aplicamos :
Agora, derivamos pra usar :
Resolvendo:
Substituindo de volta na primeira equação:

Resposta

A solução do problema é:

Exercícios relacionados