Encontre a solução de cada uma dos seguintes problemas de valor inicial.
i.
i.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial juntos! A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes:
E as condições iniciais são:
O conteúdo que vamos usar aqui envolve resolução de equações diferenciais lineares homogêneas de segunda ordem com coeficientes constantes. Vamos precisar encontrar a solução geral da equação e depois aplicar as condições iniciais para achar as constantes específicas.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a equação dividindo todos os termos por 3 para facilitar:
Agora, a equação está no formato padrão:
onde
,
e
.
Passo 3
Para resolver essa equação, vamos achar as raízes da equação característica associada:
Substituindo os valores de
Passo 4
Vamos usar a fórmula de Bhaskara para encontrar as raízes:
Aqui,
Passo 5
Como o discriminante
é negativo (
), sabemos que as raízes são complexas e da forma:
Onde:
Passo 6
Com as raízes complexas, a solução geral da equação diferencial é:
Substituindo
Passo 7
Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar
e
.
Primeiro, quando :
Primeiro, quando
Passo 8
Em seguida, derivamos
para usar a segunda condição inicial:
Avaliando em
Resolvendo para
Resposta
A solução do problema de valor inicial é: