Encontre a solução de cada uma dos seguintes problemas de valor inicial.
i. 3 d^2y/dx^2 - dy/dx + 2y = 0
y(0)=2, y'(0)=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial juntos! A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes:

E as condições iniciais são:
O conteúdo que vamos usar aqui envolve resolução de equações diferenciais lineares homogêneas de segunda ordem com coeficientes constantes. Vamos precisar encontrar a solução geral da equação e depois aplicar as condições iniciais para achar as constantes específicas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação dividindo todos os termos por 3 para facilitar:

Agora, a equação está no formato padrão:
onde , e .

Passo 3

Para resolver essa equação, vamos achar as raízes da equação característica associada:

Substituindo os valores de e :

Passo 4

Vamos usar a fórmula de Bhaskara para encontrar as raízes:

Aqui, , , e . Vamos calcular o discriminante:

Passo 5

Como o discriminante é negativo ( ), sabemos que as raízes são complexas e da forma:

Onde:

Passo 6

Com as raízes complexas, a solução geral da equação diferencial é:

Substituindo e :

Passo 7

Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar e .
Primeiro, quando :

Passo 8

Em seguida, derivamos para usar a segunda condição inicial:

Avaliando em :

Resolvendo para :

Resposta

A solução do problema de valor inicial é:

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