Encontre o Wronskiano de cada um dos seguintes conjuntos de funções:
b. {e^x sen x, e^x cos x},

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar o Wronskiano do conjunto de funções . O Wronskiano é uma ferramenta da matemática usada, principalmente em equações diferenciais, para verificar se um conjunto de funções é linearmente independente. Para isso, vamos precisar calcular a matriz formada pelas funções e suas derivadas, e depois calcular o determinante dessa matriz.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a matriz do Wronskiano. Para duas funções, essa matriz é formada pelas funções e suas primeiras derivadas. Então, temos:
Onde e .

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas das funções:
Para :
Para :

Passo 4

Com as derivadas calculadas, podemos montar a matriz do Wronskiano:

Passo 5

Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz. O determinante de uma matriz 2 * 2 é dado por:
Aplicando isso ao nosso Wronskiano:

Passo 6

Vamos simplificar os termos:
Distribuindo:

Passo 7

Agrupando termos semelhantes:
Perceba que os termos se cancelam:

Passo 8

Fatorando :
Sabemos que , então:

Resposta

O Wronskiano do conjunto de funções dado é .

Exercícios relacionados