Em cada uma das seguintes equações diferenciais de segunda ordem, encontre a solução geral.
i.
i.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de segunda ordem que é:
. Isso faz parte do estudo de equações diferenciais com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar usar a equação característica e entender como lidar com raízes reais ou complexas.
Passo 2
Primeiro, vamos montar a equação característica. Para uma equação diferencial da forma
, a equação característica é
. No nosso caso,
e
. Então, a equação característica fica:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar as raízes. Usamos a fórmula de Bhaskara:
Aqui,
,
e
. Calculando o discriminante:
Como o discriminante é negativo, as raízes serão complexas.
Passo 4
Com o discriminante negativo, as raízes têm a forma:
Onde:
e
Portanto, as raízes são:
Passo 5
Quando temos raízes complexas na forma
, a solução geral da equação diferencial é:
Substituindo
e
, temos:
Resposta
A solução geral da equação é: