Em cada uma das seguintes equações diferenciais de segunda ordem, encontre a solução geral.
i. d^2y/dx^2 + 4 dy/dx + 25/4 y = 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de segunda ordem que é: d^2y/dx^2 + 4 dy/dx + 25/4 y = 0. Isso faz parte do estudo de equações diferenciais com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar usar a equação característica e entender como lidar com raízes reais ou complexas.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a equação característica. Para uma equação diferencial da forma , a equação característica é . No nosso caso, e . Então, a equação característica fica:

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar as raízes. Usamos a fórmula de Bhaskara:
Aqui, , e . Calculando o discriminante:
Como o discriminante é negativo, as raízes serão complexas.

Passo 4

Com o discriminante negativo, as raízes têm a forma:
Onde:
e
Portanto, as raízes são:

Passo 5

Quando temos raízes complexas na forma , a solução geral da equação diferencial é:
Substituindo e , temos:

Resposta

A solução geral da equação é:

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