Encontre a solução de cada uma dos seguintes problemas de valor inicial.
d. y'' - 2 y' + 5 y = 0,
y(pi / 2) = 0
y'(\pi / 2) = 2

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial com as condições iniciais e . A matéria que vamos usar aqui é de equações diferenciais lineares com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar achar a solução geral da equação e depois aplicar as condições iniciais para encontrar os valores das constantes.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a equação característica associada à nossa equação diferencial. Para isso, substituímos por , o que nos leva à seguinte equação:

Passo 3

Agora, vamos resolver a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:

Passo 4

Como as raízes são complexas ( ), a solução geral da equação diferencial é dada por:
Aqui, e são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.

Passo 5

Vamos aplicar a primeira condição inicial . Substituindo na solução geral:

Passo 6

Agora, vamos aplicar a segunda condição inicial . Primeiro, encontramos a derivada de :
Como :
Aplicando :

Resposta

Substituindo e na solução geral, temos:

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