Encontre a solução de cada uma dos seguintes problemas de valor inicial.
d.
,
d.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial
com as condições iniciais
e
. A matéria que vamos usar aqui é de equações diferenciais lineares com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar achar a solução geral da equação e depois aplicar as condições iniciais para encontrar os valores das constantes.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a equação característica associada à nossa equação diferencial. Para isso, substituímos
por
, o que nos leva à seguinte equação:
Passo 3
Agora, vamos resolver a equação quadrática
usando a fórmula de Bhaskara:
Passo 4
Como as raízes são complexas (
), a solução geral da equação diferencial é dada por:
Aqui,
e
são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.
Passo 5
Vamos aplicar a primeira condição inicial
. Substituindo na solução geral:
Passo 6
Agora, vamos aplicar a segunda condição inicial
. Primeiro, encontramos a derivada de
:
Como
:
Aplicando
:
Resposta
Substituindo
e
na solução geral, temos: