Em cada uma das seguintes equações diferenciais de segunda ordem, encontre a solução geral.
d.
d.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma equação diferencial de segunda ordem:
. Nosso objetivo é encontrar a solução geral dessa equação. Para isso, vamos usar o conteúdo de Equações Diferenciais Lineares de Segunda Ordem com Coeficientes Constantes. Precisamos identificar os coeficientes da equação e resolver a equação característica para encontrar as raízes que vão nos dar a solução geral.
Passo 2
Primeiro, escrevemos a equação característica associada à equação diferencial. Para uma equação da forma
, a equação característica é
.
No nosso caso, temos:
Portanto, a equação característica é:
Passo 3
Agora, vamos resolver a equação quadrática
. Para isso, usamos a fórmula de Bhaskara:
Substituindo os valores:
Passo 4
Como o discriminante (
) deu negativo (
), as raízes são complexas. Podemos escrever
, onde
é a unidade imaginária.
Então, as raízes ficam:
Passo 5
Quando as raízes são complexas na forma
, a solução geral da equação diferencial é:
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 6
Aplicando os valores das raízes que encontramos (
e
), a solução geral fica:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
e
são constantes arbitrárias.
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Encontre o Wronskiano de cada um dos seguintes conjuntos de funções:
j.
j.
Encontre equação diferencial de segunda ordem de tal forma que sua solução geral seja:
d.
d.
Em cada uma das seguintes equações diferenciais de segunda ordem, encontre a solução geral.
i.
i.
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d. ,
d.