Em cada uma das seguintes equações diferenciais de segunda ordem, encontre a solução geral.
d.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma equação diferencial de segunda ordem: . Nosso objetivo é encontrar a solução geral dessa equação. Para isso, vamos usar o conteúdo de Equações Diferenciais Lineares de Segunda Ordem com Coeficientes Constantes. Precisamos identificar os coeficientes da equação e resolver a equação característica para encontrar as raízes que vão nos dar a solução geral.

Passo 2

Primeiro, escrevemos a equação característica associada à equação diferencial. Para uma equação da forma , a equação característica é .
No nosso caso, temos:
Portanto, a equação característica é:

Passo 3

Agora, vamos resolver a equação quadrática . Para isso, usamos a fórmula de Bhaskara:
Substituindo os valores:

Passo 4

Como o discriminante ( ) deu negativo ( ), as raízes são complexas. Podemos escrever , onde é a unidade imaginária.
Então, as raízes ficam:

Passo 5

Quando as raízes são complexas na forma , a solução geral da equação diferencial é:
onde e são constantes arbitrárias.

Passo 6

Aplicando os valores das raízes que encontramos ( e ), a solução geral fica:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde e são constantes arbitrárias.

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j.
Encontre equação diferencial de segunda ordem de tal forma que sua solução geral seja:
d.
Em cada uma das seguintes equações diferenciais de segunda ordem, encontre a solução geral.
i.
Encontre a solução de cada uma dos seguintes problemas de valor inicial.
d. ,